Matura 2018 p. podstawowy matematyka - z. 20

2018, 9. Stereometria, 9.1) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami, Egzaminy, II.9.1, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Podstawowy

Matura 2018 p. podstawowy matematyka - z. 20

Autor Paweł 23 maja, 2018 23 kwietnia, 2019

Zadanie 20 (0-1)

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek).

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4 — Źródło CKE: matura poziom podstawowy 2018

Kąt α, jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek

A. α = 45^o

B. 45^o < α < 60^o

C. α > 60^o

D. α = 60^o

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2017/2018 - Matura maj poziom podstawowy

Analiza:

Przyjrzyjmy się ostrosłupowi: Aby wyznaczyć kąt

$\alpha$ należy wyliczyć dwie długości z:

$SO$ ,

$KS$ lub

$KO$ .

I sposób

To liczmy.

$KM$ otrzymamy z Twierdzenia Pitagorasa:

$|KM|^2=|KL|^2+|ML|^2$

$|KM|^2=4^2+4^2$

$|KM|^2=16+16$

$|KM|^2=32/ \sqrt{ }$

$|KM|=\sqrt{32}$

$|KM|=\sqrt{16 \cdot 2}$

$|KM|=4\sqrt{2}$

Sprawdź trójkąt w kalkulatorze

Podobnie wyznaczyć możemy długość krawędzi

$KS$ . W trójkącie prostokątnym znowu przyprostokątne

$NS$ i

$NK$ mają długość

$4 cm$ , to

$KS$ ma długość identyczną jak

$KM$ , czyli

$4\sqrt{2}$ . Stąd wynika, że trójkąt

$SKM$ jest równoboczny czyli wszystkie jego kąty mają wielkość 60^o.

II sposób

To liczmy.

$KO$ otrzymamy z Twierdzenia Pitagorasa:

$|KM|^2=|KL|^2+|ML|^2$

$|KM|^2=4^2+4^2$

$|KM|^2=16+16$

$|KM|^2=32/ \sqrt{ }$

$|KM|=\sqrt{32}$

$|KM|=\sqrt{16 \cdot 2}$

$|KM|=4\sqrt{2}$

$|KO|=\frac{1}{2}|KM|=\frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

Podstawa jest kwadratem, dlatego

$|NO|=|KO|=2\sqrt{2}$ . Ponownie korzystamy z Twierdzenia Pitagorasa tym razem dla trójkąta prostokątnego

$SON$ , aby wyliczyć długość

$|OS|$ .

$|OS|^2=|NO|^2+|NS|^2$

$|OS|^2={2\sqrt{2}}^2+4^2$

$|OS|^2=4\cdot 2+16$

$|OS|^2=8+16$

$|OS|^2=24 /\sqrt{ }$

$|OS|=\sqrt{24}$

$|OS|=\sqrt{4\cdot 6}$

$|OS|=2\sqrt{6}$

Z definicji tangensa:

$tg \frac{1}{2}\alpha = \frac{|KO|}{|OS|}$

$tg \frac{1}{2}\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}$

$tg \frac{1}{2}\alpha = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$

$tg \frac{1}{2}\alpha = \sqrt{\frac{2}{6}}$

$tg \frac{1}{2}\alpha = \sqrt{0,3333333}$

$tg \frac{1}{2}\alpha = 0,5774$

Poszukajmy w tablicach maturalnych dla jakiego kąta wartość tangensa równa jest w przybliżeniu

$0,5773$ .

Dla kąta równego 30^o wartość tangensa wynosi

$0,5773$ . Kąt

$\alpha$ jest dwa razy większy (ponieważ liczyliśmy

$tg \frac{1}{2}\alpha$ ) i wynosi 60^o.

Ten sposób rozwiązania zadania niedość, że jest dłuższy to może generować błąd, jeżeli nie policzysz ostatnich etapów z odpowiednio dużą dokładnością!

Odpowiedź:

A. α = 45^o

B. 45^o < α < 60^o

C. α > 60^o

D. α = 60^o

Matura - poziom podstawowy

Matura 2018 - poziom podstawowy

czerwiec

Zadanie na chwilę obecną niedostępne

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

sierpień

Zadanie na chwilę obecną niedostępne

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Egzaminy maturalne - archiwum

2017

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.

Zadanie z odpowiedzią bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

2016

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.

Zadanie z odpowiedzią bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

2015

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2015 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.

Zadanie chwilowo niedostępne

Zadanie z odpowiedzią bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

2014

Egzamin maturalny w starej formule. Zadania z matury podstawowej z matematyki 2014 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.

Zadanie chwilowo niedostępne

Zadanie z odpowiedzią bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

2013

Zadania niedostępne

Zadanie chwilowo niedostępne

Zadanie z odpowiedzią bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2019 - poziom podstawowy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2020 - poziom podstawowy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Czerwiec 2020

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Sierpień 2020

Zadanie dowodowe bez analizy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2021 - poziom podstawowy

Marzec 2021

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Maj 2021

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Czerwiec 2021

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie bez analizy i odpowiedzi

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Sierpień 2021

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2022 - poziom podstawowy

2022

Zadanie z odpowiedzią bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi