Matura 2017 poziom podstawowy - zadanie 26

2017, 3. Równania i nierówności, 3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą, Egzaminy, II.3.5, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Podstawowy

Matura 2017 poziom podstawowy - zadanie 26

Autor Paweł 28 października, 2017 26 stycznia, 2023

Zadanie 26 (0-2)

Rozwiąż nierówność 8x²-72x≤0

Źródło CKE - Arkusz maturalny 2017 - poziom podstawowy

Analiza:

Ustalmy dziedzinę: x należy do liczb rzeczywistych, co zapisujemy jako $x \in \mathbb{R}.$

Na wstępie potraktujmy tą nierówność jak równanie

$8x^2-72x \color{red}{\leq} 0$

$8x^2-72x \color{red}{=} 0$

Rozwiążmy to równanie. Poniżej przedstawione są dwa sposoby:

I sposób

Wyłączmy wspólny czynnik przed nawias:

$8x^2-72x = 0$

$8x(x-9) = 0$

Już widać, że równanie przyjmuje wartość zero wtedy, gdy poszczególne jego człony przyjmują wartość zero

$\underbrace{8x}_{=0} \underbrace{(x-9)}_{=0} = 0$

$8x = 0$

$x_1 = 0$

$x-9 = 0$

$x_2 = 9$

II sposób

Można też rozwiązać licząc deltę, a następnie wyliczając kolejne pierwiastki. Uprośćmy równanie:

$8x^2-72x=0/:8$

$\underbrace{x^2}_{a=1}\underbrace{-9x}_{b=-9}= 0$

$\Delta = b^2 - 4ac$

$\Delta = 9^2 - 4\cdot 1 \cdot 0$

$\Delta = 81$

$x_1 = -\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_1 = -\frac{-9+\sqrt{81}}{2 \cdot 1}$

$x_1 = -\frac{-9+9}{2}$

$x_1 = -\frac{0}{2}$

$x_1 = 0$

$x_2 = -\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_2 = -\frac{-9-\sqrt{81}}{2 \cdot 1}$

$x_2 = -\frac{-9-9}{2}$

$x_2 = -\frac{-18}{2}$

$x_2 = -(-9)$

$x_2 = 9$

Jak widać pierwszy sposób jest znacznie szybszy.

Zaznaczmy punkty na osi:

Wracamy ponownie do nierówności. wybierzmy sobie trzy dowolne punkty z trzech przedziałów $-1 \in (-\infty , 0)$ , $1 \in [0, 9]$ i $10 \in (9, \infty)$ .

Sprawdźmy, jakie wartości otrzymamy po podstawieniu tych argumentów.

$x^2-9x = (-1)^2-9 \cdot (-1) = 1+9 = 10$

$x^2-9x = 1^2-9 \cdot 1 = 1-9 = -8 \color{green}{\leq} 0$

$x^2-9x = (10)^2-9 \cdot (10) = 100-90 = 10$

$-1$ i $10$ dają wyniki większe od zera. Zaznaczmy to na osi:

Całe przedziały $(-\infty , 0)$ i $(9, \infty)$ nie spełniają nierówności.

Wartości nierówności są mniejsze równe zero tylko dla argumentów z przedziału $\langle 0, 9 \rangle$ .

Odpowiedź:

Rozwiązaniem nierówności

$8x^2-72x \leq 0$ jest przedział obustronnie zamknięty

$\langle 0, 9 \rangle$ .

Matura - poziom podstawowy

Matura 2018 - poziom podstawowy

czerwiec

Zadanie na chwilę obecną niedostępne

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

sierpień

Zadanie na chwilę obecną niedostępne

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Egzaminy maturalne - archiwum

2017

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.

Zadanie z odpowiedzią bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

2016

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.

Zadanie z odpowiedzią bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

2015

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2015 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.

Zadanie chwilowo niedostępne

Zadanie z odpowiedzią bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

2014

Egzamin maturalny w starej formule. Zadania z matury podstawowej z matematyki 2014 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.

Zadanie chwilowo niedostępne

Zadanie z odpowiedzią bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

2013

Zadania niedostępne

Zadanie chwilowo niedostępne

Zadanie z odpowiedzią bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2019 - poziom podstawowy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2020 - poziom podstawowy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Czerwiec 2020

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Sierpień 2020

Zadanie dowodowe bez analizy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2021 - poziom podstawowy

Marzec 2021

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Maj 2021

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Czerwiec 2021

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie bez analizy i odpowiedzi

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Sierpień 2021

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2022 - poziom podstawowy

2022

Zadanie z odpowiedzią bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi