2021, 6. Trygonometria, 6.4) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi, Egzaminy, II.6.4, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Podstawowy, Poziom Podstawowy - czerwiec 2021

Matura czerwiec 2021 p. podstawowy matematyka - z. 15

Autor Paweł 10 czerwca, 2021 16 września, 2024

Zadanie 15 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2021

2015

Kąt o mierze α jest ostry i tgα=√5. Wtedy

A. $cos^2lpha= rac{1}{6}$

B. $cos^2lpha= rac{1}{5}$

C. $cos^2lpha= rac{sqrt{5}}{5}$

D. $cos^2lpha= rac{5}{6}$

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura czerwiec (05.06.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2021, 5. Ciągi, 5.4) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, Egzaminy, III. Modelowanie matematyczne, III.5.4, Matura, Poziom Podstawowy, Poziom Podstawowy - czerwiec 2021

Matura czerwiec 2021 p. podstawowy matematyka - z. 14

Autor Paweł 10 czerwca, 2021 4 stycznia, 2023

Zadanie 14 (0-1)

Ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek a₃=a₁·a₂. Niech q oznacza iloraz ciągu (a_n). Wtedy

A. $a_1=\frac{1}{q}$

B. $a_1=q$

C. $a_1=q^2$

D. $a_1=q^3$

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura czerwiec (05.06.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2021, 4. Funkcje, 4.8. szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru, Egzaminy, II.4.8, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Podstawowy, Poziom Podstawowy - czerwiec 2021

Matura czerwiec 2021 p. podstawowy matematyka - z. 10

Autor Paweł 10 czerwca, 2021 19 czerwca, 2023

Zadanie 10 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2021

2015

Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=-3(x+4)(x-2) jest parabola o wierzchołku W=(p,q). Współrzędne wierzchołka W spełniają warunki

A. p>0 i q>0

B. p<0 i q>0

C. p<0 i q<0

D. p>0 i q<0

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura czerwiec (05.06.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2021, 3. Równania i nierówności, 3.8) rozwiązuje proste równania wymierne, Egzaminy, II.3.8, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Podstawowy, Poziom Podstawowy - czerwiec 2021

Matura czerwiec 2021 p. podstawowy matematyka - z. 8

Autor Paweł 10 czerwca, 2021 4 stycznia, 2023

Zadanie 8 (0-1)

Równanie $\frac{x^2-7x}{x^2-49}=0$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie

A. jedno rozwiązanie

B. dwa rozwiązania

C. trzy rozwiązania

D. cztery rozwiązania

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura czerwiec (05.06.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2021, 3. Równania i nierówności, 3.1) sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności, Egzaminy, I. Wykorzystanie i tworzenie informacji, I.3.1, Matura, Poziom Podstawowy, Poziom Podstawowy - czerwiec 2021

Matura czerwiec 2021 p. podstawowy matematyka - z. 7

Autor Paweł 10 czerwca, 2021 12 czerwca, 2023

Zadanie 7 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2021

2015

Rozwiązaniem równania $x\sqrt{3}+2=2x-8$

A. $10(2+sqrt{3})$

B. $rac{10}{sqrt{3}-2}$

C. $10(sqrt{3}-2)$

D. $rac{sqrt{3}+10}{2}$

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura czerwiec (05.06.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:, 2021, 8) posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej, Egzaminy, II.1.8, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Podstawowy, Poziom Podstawowy - czerwiec 2021

Matura czerwiec 2021 p. podstawowy matematyka - z. 6

Autor Paweł 10 czerwca, 2021 12 czerwca, 2023

Zadanie 6 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2021

2015

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich rozwiązań rzeczywistych x spełniających jednocześnie nierówności 0<7-3x oraz 7-3x≤5x-3.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura czerwiec (05.06.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2. Wyrażenia algebraiczne, 2.1. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia, 2021, Egzaminy, II.2.1, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Podstawowy, Poziom Podstawowy - czerwiec 2021

Matura czerwiec 2021 p. podstawowy matematyka - z. 5

Autor Paweł 10 czerwca, 2021 4 stycznia, 2023

Zadanie 5 (0-1)

Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie (x-1)²-(2-x)² jest równe

A. 2x-3

B. 2x²-6x-3

C. (2x-3)²

D. 9

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura czerwiec (05.06.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:, 2021, 9) wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, Egzaminy, III. Modelowanie matematyczne, III.1.9, Matura, Poziom Podstawowy, Poziom Podstawowy - czerwiec 2021

Matura czerwiec 2021 p. podstawowy matematyka - z. 4

Autor Paweł 10 czerwca, 2021 10 marca, 2022

Zadanie 4 (0-1)

Cenę drukarki obniżono o 20%, a następnie nową cenę obniżono o 10%. W wyniku obu tych zmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o

A. 18%

B. 28%

C. 30%

D. 72%

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura czerwiec (04.06.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:, 2021, 3) posługuje się w obliczeniach pierwiastkami, Egzaminy, II.1.3, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Podstawowy, Poziom Podstawowy - czerwiec 2021

Matura czerwiec 2021 p. podstawowy matematyka - z. 1

Autor Paweł 10 czerwca, 2021 4 stycznia, 2023

Zadanie 1 (0-1)

Wartość wyrażenia $\sqrt{2}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})$ jest równa

A. $5-2\sqrt{6}$

B. 5

C. $5+2\sqrt{6}$

D. -1

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura czerwiec (02.06.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

11. Rachunek różniczkowy, 2021, Egzaminy, III. Modelowanie matematyczne, III.R11.6, Matura, Poziom Rozszerzony - maj, R11.6) stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

Matura maj 2021 p. rozszerzony matematyka - z. 15

Autor Paweł 11 maja, 2021 27 czerwca, 2022

Zadanie 15 (0-7)

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m². Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
– 100 zł za 1 m² dna
– 75 zł za 1 m² ściany bocznej.
Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (11.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2021, 4. Funkcje, 4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji, 7. Planimetria, Egzaminy, III. Modelowanie matematyczne, III.4.9, III.R7.5, Matura, Poziom Rozszerzony - maj, R7.5) znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów

Matura maj 2021 p. rozszerzony matematyka - z. 14

Autor Paweł 11 maja, 2021 22 czerwca, 2022

Zadanie 14 (0-6)

Dane są parabola o równaniu y=x² oraz punkty A=(0, 2) i B=(1, 3) (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC, których wierzchołek C leży na tej paraboli. Niech m oznacza pierwszą współrzędną punktu C.

a) Wyznacz pole P trójkąta ABC jako funkcję zmiennej m.

b) Wyznacz wszystkie wartości m, dla których trójkąt ABC jest ostrokątny.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (11.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2021, 7. Planimetria, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.R7.5, Matura, Poziom Rozszerzony - maj, R7.5) znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów

Matura maj 2021 p. rozszerzony matematyka - z. 13

Autor Paweł 11 maja, 2021 22 czerwca, 2022

Zadanie 13 (0-4)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta ABC, który ma większą miarę.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (11.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2021, 6. Trygonometria, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.R6.6, Matura, Poziom Rozszerzony - maj, R6.6) rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu sin2x=½

Matura maj 2021 p. rozszerzony matematyka - z. 12

Autor Paweł 11 maja, 2021 22 czerwca, 2022

Zadanie 12 (0-5)

Rozwiąż równanie $cos2x=\frac{\sqrt{2}}{2}(cosx-sinx)$ w przedziale <0,π>.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (11.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2021, 3. Równania i nierówności, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.R3.1, IV.R3.2, IV.R3.7, Matura, Poziom Rozszerzony - maj, R3.1) stosuje wzory Viète’a;, R3.2) rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem;, R3.7) rozwiązuje łatwe nierówności wielomianowe;

Matura maj 2021 p. rozszerzony matematyka - z. 11

Autor Paweł 11 maja, 2021 22 czerwca, 2022

Zadanie 11 (0-5)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian kwadratowy

$4x^2-2(m+1)x+m$

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₁ oraz x₂, spełniające warunki:

$x_1\neq 0$

$x_2\neq 0$ oraz

$x_1+x_2\leq\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (11.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2021, 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej, 8.1) wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.8.1, IV.R8.4, Matura, Poziom Rozszerzony - maj, R8.4) oblicza odległość punktu od prostej;

Matura maj 2021 p. rozszerzony matematyka - z. 10

Autor Paweł 11 maja, 2021 22 czerwca, 2022

Zadanie 10 (0-4)

Prosta przechodząca przez punkty A=(8, −6) i B=(5, 15) jest styczna do okręgu o środku w punkcie O=(0, 0). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (11.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka, 2021, Egzaminy, III. Modelowanie matematyczne, III.R10.2, Matura, Poziom Rozszerzony - maj, R10.2) oblicza prawdopodobieństwo warunkowe;

Matura maj 2021 p. rozszerzony matematyka - z. 9

Autor Paweł 11 maja, 2021 22 czerwca, 2022

Zadanie 9 (0-4)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 15, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 18.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (11.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2021, 7. Planimetria, Egzaminy, G10.14) stosuje cechy przystawania trójkątów;, Matura, Poziom Rozszerzony - maj, R7.4) rozpoznaje figury podobne i jednokładne; wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności;, V. Rozumowanie i argumentacja., V.G10.14, V.R7.4

Matura maj 2021 p. rozszerzony matematyka - z. 8

Autor Paweł 11 maja, 2021 22 czerwca, 2022

Zadanie 8 (0-3)

Dany jest trójkąt równoboczny ABC. Na bokach AB i AC wybrano punkty – odpowiednio – D i E takie, że |BD|=|AE|=13 |AB|. Odcinki CD i BE przecinają się w punkcie P(zobacz rysunek).

Wykaż, że pole trójkąta DBP jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta ABD.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (11.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2021, 3. Równania i nierówności, Egzaminy, II.R3.8, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Rozszerzony - maj, R3.8) rozwiązuje proste nierówności wymierne

Matura maj 2021 p. rozszerzony matematyka - z. 7

Autor Paweł 11 maja, 2021 22 czerwca, 2022

Zadanie 7 (0-3)

Rozwiąż nierówność:

$\frac{2x-1}{1-x}\leq\frac{2+2x}{5x}$

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (11.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:, 2021, Egzaminy, Matura, Poziom Rozszerzony - maj, R1.2) stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu., V. Rozumowanie i argumentacja., V.R1.2)

Matura maj 2021 p. rozszerzony matematyka - z. 6

Autor Paweł 11 maja, 2021 27 czerwca, 2022

Zadanie 6 (0-3)

Niech $log_218=c$ . Wykaż, że $log_34=\frac{4}{c-1}$

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (11.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2021, 5. Ciągi, Egzaminy, II.R5.2, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Rozszerzony - maj, R5.2) oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu 1/n, 1/n2 oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów;

Matura maj 2021 p. rozszerzony matematyka - z. 5

Autor Paweł 11 maja, 2021 22 czerwca, 2022

Zadanie 5 (0-2)

Oblicz granicę

$lim_{n\to\infty} \frac{(3n+2)^2-(1-2n)^2}{(2n-1)^2}$

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (11.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

Zadanie 15 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2021

Kąt o mierze α jest ostry i tgα=√5. Wtedy

Zadanie 14 (0-1)

Ciąg geometryczny (an), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek a3=a1·a2. Niech q oznacza iloraz ciągu (an). Wtedy

Zadanie 10 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2021

Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=-3(x+4)(x-2) jest parabola o wierzchołku W=(p,q). Współrzędne wierzchołka W spełniają warunki

Zadanie 8 (0-1)

Równanie ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie

Zadanie 7 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2021

Rozwiązaniem równania

Zadanie 6 (0-1) - matura poziom podstawowy czerwiec 2021

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich rozwiązań rzeczywistych x spełniających jednocześnie nierówności 0<7-3x oraz 7-3x≤5x-3.

Zadanie 5 (0-1)

Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie (x-1)2-(2-x)2 jest równe

Zadanie 4 (0-1)

Cenę drukarki obniżono o 20%, a następnie nową cenę obniżono o 10%. W wyniku obu tych zmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o

Zadanie 1 (0-1)

Wartość wyrażenia jest równa

Zadanie 15 (0-7)

Zadanie 14 (0-6)

Dane są parabola o równaniu y=x2 oraz punkty A=(0, 2) i B=(1, 3) (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC, których wierzchołek C leży na tej paraboli. Niech m oznacza pierwszą współrzędną punktu C.

a) Wyznacz pole P trójkąta ABC jako funkcję zmiennej m.

b) Wyznacz wszystkie wartości m, dla których trójkąt ABC jest ostrokątny.

Zadanie 13 (0-4)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta ABC, który ma większą miarę.

Zadanie 12 (0-5)

Zadanie 11 (0-5)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian kwadratowy

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1 oraz x2, spełniające warunki:

Zadanie 10 (0-4)

Prosta przechodząca przez punkty A=(8, −6) i B=(5, 15) jest styczna do okręgu o środku w punkcie O=(0, 0). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.

Zadanie 9 (0-4)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 15, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 18.

Zadanie 8 (0-3)

Dany jest trójkąt równoboczny ABC. Na bokach AB i AC wybrano punkty – odpowiednio – D i E takie, że |BD|=|AE|=13 |AB|. Odcinki CD i BE przecinają się w punkcie P(zobacz rysunek).

Wykaż, że pole trójkąta DBP jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta ABD.

Zadanie 7 (0-3)

Rozwiąż nierówność:

Zadanie 6 (0-3)

Niech . Wykaż, że

Zadanie 5 (0-2)

Oblicz granicę

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek a₃=a₁·a₂. Niech q oznacza iloraz ciągu (a_n). Wtedy

Równanie $\frac{x^2-7x}{x^2-49}=0$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie

Rozwiązaniem równania $x\sqrt{3}+2=2x-8$

Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie (x-1)²-(2-x)² jest równe

Wartość wyrażenia $\sqrt{2}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})$ jest równa

Dane są parabola o równaniu y=x² oraz punkty A=(0, 2) i B=(1, 3) (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC, których wierzchołek C leży na tej paraboli. Niech m oznacza pierwszą współrzędną punktu C.

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₁ oraz x₂, spełniające warunki:

Niech $log_218=c$ . Wykaż, że $log_34=\frac{4}{c-1}$