Zadanie 13 (0-1)

Do sześciokąta przedstawionego na rysunku w zadaniu 12. dorysowujemy kolejne takie same sześciokąty. Umieszczamy je tak, jak na rysunku, aby każdy następny sześciokąt miał z poprzednim dokładnie jeden wspólny wierzchołek oraz by jeden bok każdego sześciokąta leżał na osi x. Poniżej przedstawiono dorysowane, zgodnie z tą regułą, sześciokąty, które ponumerowano kolejnymi liczbami naturalnymi.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli zdanie jest fałszywe.

Pierwsza współrzędna wierzchołka L w drugim sześciokącie jest równa 6.	P	F
Pierwsza współrzędna wierzchołka M w n-tym sześciokącie jest równa .	P	F

Źródło CKE - Arkusz ezgaminacyjny 2015/2016

Analiza:

Sprawdźmy zdanie pierwsze: "Pierwsza współrzędna wierzchołka L w drugim sześciokącie jest równa 6.". Pytają się o zmienną

. Zauważ, że długość boku sześciokąta jest równa

. Pozostaje nam ustalić długość przerwy między podstawami kolejnych figur.
Do sześciokąta przedstawionego na rysunku w zadaniu 12

Zauważ, że trójkąt stworzony w przerwie między sześciokątami jest identyczny jak jeden z 6 trójkątów równobocznych tworzących ten sześciokąt:
Do sześciokąta przedstawionego na rysunku w zadaniu 12.

Znaczy to, że długość przerwy jest równa długości boku, czyli

. Co punktu L od punktu

mamy

, czyli

Sprawdźmy zdanie drugie: "Pierwsza współrzędna wierzchołka M w n-tym sześciokącie jest równa . "
Punkt M leży na prawym końcu podstawy n-tego sześciokąta. Analogicznie do punktu

i punktu

wcześniej wyznaczonego o współrzędnych

Sprawdźmy, czy dla n=1 - pierwszego sześciokąta spełnione jest równanie

Zgadza się.

Sprawdźmy, czy dla n=2 - drugiego sześciokąta spełnione jest równanie

Też się zgadza.

Zdanie jest prawdziwe.

Odpowiedź:

Pierwsza współrzędna wierzchołka L w drugim sześciokącie jest równa 6.	P	F
Pierwsza współrzędna wierzchołka M w n-tym sześciokącie jest równa .	P	F