Twierdzenie Pitagorasa - dowód 1

Autor Paweł 15 lipca, 2019 21 stycznia, 2020

W cyklu wpisów dotyczących Twiedzenia Pitagorasa rozpoczynam publikację dowodów słuszności Twierdzenia Pitagorasa. W planach jest przedstawienie kilkudziesięciu różnych dowodów potwierdzających tą teorię. Wraz z nimi będą publikowane aktywne arkusze tworzone najczęściej w Geogebrze. A wraz z nimi do niektórych przykładów zostaną opublikowane także kursy Geogebry w formie video.

Czytaj dalej

10.7) stosuje twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie Pitagorasa, trójkąty podobne - zadanie

Autor Paweł 14 grudnia, 2018 18 grudnia, 2018

Zadanie

Dane są dwa trójkąty prostokątne ABC i PRS (patrz rysunek). W trójkącie ABC przyprostokątne mają długość 8 i 6 cm. W trójkącie PRS przeciwprostokątna ma długość 15 cm. Jaką długość mają przyprostokątne PR i RS w trójkącie PRS, gdy trójkąty ABC i PRS są podobne? Zapisz obliczenia.

Czytaj dalej

10.7) stosuje twierdzenie Pitagorasa., Repetytorium, Repetytorium

Arkusz egzaminacyjny - Twierdzenie Pitagorasa

Autor Paweł 5 grudnia, 2018 23 kwietnia, 2020

Zestaw zadań egzaminacyjnych z lat ubiegłych posegregowanych tematycznie. Temat przewodni zestawu - 10.7) stosuje twierdzenie Pitagorasa;( III etap edukacyjny - gimnazjum i VIII.8) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych twierdzenie Pitagorasa [...];)( II etap edukacyjny - szkoła podstawowa)

Czytaj dalej"Arkusz egzaminacyjny - Twierdzenie Pitagorasa"

10.6) oblicza pole koła, pierścienia kołowego, wycinka kołowego;

Pole koła

Autor Paweł 16 września, 2018 20 lutego, 2019

Jedno z najpopularniejszych haseł wyszukiwania w Google dla początkowego ciągu liter "wzó" to "wzór na pole koła"*.

* wyszukanie z dnia 16.09.2018. W trybie Chrome incognito, aby nie zaburzać wyników przez indywidualne preferencje.

Wzór cv, czy wzór wypowiedzenia nas teraz nie interesuje. To zacznijmy od wzoru na pole koła:

Czytaj dalej

10.4) rozpoznaje kąty środkowe, 7. Planimetria, 7.1) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym

Kąt wpisany a kąt środkowy w okręgu

Autor Paweł 21 sierpnia, 2018 13 listopada, 2019

Między dwoma kątami opartymi na tej samej cięciwie, z których jeden jest kątem środkowym a drugim wpisanym w okrąg zachodzi relacja:

Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od kąta wpisanego w okrąg.

Twierdzenie to możesz sprawdzić na interaktywnej karcie poniżej.

Czytaj dalej

10. Figury płaskie. Uczeń:, 10.7) stosuje twierdzenie Pitagorasa., 10.9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów, 2018, Egzamin gimnazjalny, Egzaminy, II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., II.10.7, II.10.9

Egzamin gimnazjalny 2018 mat.- z. 19

Autor Paweł 25 kwietnia, 2018 23 listopada, 2018

Zadanie 19 (0-1)

Na przekątnej BD kwadratu ABCD o boku długości 4 zbudowano trójkąt równoboczny BED.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta BED jest równe

A.

B.

C.

D.

Czytaj dalej"Egzamin gimnazjalny 2018 mat.- z. 19"

10. Figury płaskie. Uczeń:, 10.3) korzysta z faktu, że styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności., 2018, 9. Wielokąty, koła, okręgi. Uczeń:, 9.3) stosuje twierdzenie o sumie kątów trójkąta., Egzamin gimnazjalny, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.10.3, IV.9.3

Egzamin gimnazjalny 2018 mat.- z. 18: Na rysunku przedstawiono okrąg o środku O

Autor Paweł 25 kwietnia, 2018 23 listopada, 2018

Zadanie 18 (0-1)

Na rysunku przedstawiono okrąg o środku O oraz kąt środkowy o mierze 280°. Punkty A i B znajdują się na okręgu. Prosta k jest styczna do okręgu w punkcie B.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta α jest równa

A. 30°

B. 40°

C. 50°

D. 80°

Czytaj dalej"Egzamin gimnazjalny 2018 mat.- z. 18: Na rysunku przedstawiono okrąg o środku O"

10. Figury płaskie. Uczeń:, 10.15) korzysta z własności trójkątów prostokątnych podobnych., 10.7) stosuje twierdzenie Pitagorasa., 2018, Egzamin gimnazjalny, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.10.15, IV.10.7

Egzamin gimnazjalny 2018 mat.- z. 16 Dany jest trójkąt prostokątny ABC

Autor Paweł 22 kwietnia, 2018 23 listopada, 2018

Zadanie 16 (0-1)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Przeciwprostokątna trójkąta DEF podobnego do trójkąta ABC w skali 2:1 ma długość

A. 25 cm

B. 30 cm

C. 40 cm

D. 50 cm

Czytaj dalej"Egzamin gimnazjalny 2018 mat.- z. 16 Dany jest trójkąt prostokątny ABC"

10. Figury płaskie. Uczeń:, 10.9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów, 2018, Egzamin gimnazjalny, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.10.9

Egzamin gimnazjalny 2018 mat.- z. 15 Na kwadratowej siatce narysowano

Autor Paweł 19 kwietnia, 2018 11 września, 2018

Zadanie 15 (0-1)

Na kwadratowej siatce narysowano pewien wielokąt (patrz rysunek). Jego wierzchołki znajdują się w punktach przecięcia linii siatki.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole tego wielokąta jest równe

A. 18 cm²

B. 21 cm²

C. 29 cm²

D. 32 cm²

Czytaj dalej"Egzamin gimnazjalny 2018 mat.- z. 15 Na kwadratowej siatce narysowano"

10. Figury płaskie. Uczeń:, 10.9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów, 2018, Egzamin gimnazjalny, Egzaminy, II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., II.10.9

Egzamin gimnazjalny 2018 mat.- z. 11 Na rysunku przedstawiono dwie figury.

Autor Paweł 19 kwietnia, 2018 10 września, 2018

Zadanie 11 (0-1)

Na rysunku przedstawiono dwie figury. Figura I powstała przez usunięcie dwóch kwadratów jednostkowych z kwadratu o boku długości 6, a figura II powstała przez usunięcie dwóch kwadratów jednostkowych z prostokąta o bokach długości 4 i 8.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Obwód figury I jest równy obwodowi kwadratu o boku 6.	P	F
Obwód figury II jest większy od obwodu figury I.	P	F

Czytaj dalej"Egzamin gimnazjalny 2018 mat.- z. 11 Na rysunku przedstawiono dwie figury."

10. Figury płaskie. Uczeń:, 10.7) stosuje twierdzenie Pitagorasa., 10.9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów, 11. Bryły. Uczeń:, 11.2) oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, 2017, Egzamin gimnazjalny, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.10.7, IV.10.9, IV.11.2

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2017 - zadanie 23

Autor Paweł 11 października, 2017 26 grudnia, 2018

Zadanie 23 (0-4)

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie trójkąta prostokątnego i jego siatkę. Dwie dłuższe krawędzie podstawy graniastosłupa mają 12 cm i 13 cm długości, a pole zacieniowanej części siatki graniastosłupa jest równe 168 cm². Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Czytaj dalej"Egzamin gimnazjalny z matematyki 2017 - zadanie 23"

10. Figury płaskie. Uczeń:, 10.9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów, 2017, 4. Pierwiastki. Uczeń:, 4.3) mnoży i dzieli pierwiastki drugiego stopnia., Egzamin gimnazjalny, Egzaminy, III. Modelowanie matematyczne., III.10.9, III.4.3

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2017 - zadanie 18

Autor Paweł 11 października, 2017 17 marca, 2021

Zadanie 18 (0-1)

Prostokąt o wymiarach $3\sqrt{3}$ cm i $5\sqrt{3}$ cm podzielono na 15 jednakowych kwadratów.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole jednego kwadratu jest równe

A. $1$ cm²

B. $\sqrt{3}$ cm²

C. $\sqrt{45}$ cm²

D. $3$ cm²

Czytaj dalej

10. Figury płaskie. Uczeń:, 10.3) korzysta z faktu, że styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności., 10.4) rozpoznaje kąty środkowe, 2017, 9. Wielokąty, koła, okręgi. Uczeń:, 9.3) stosuje twierdzenie o sumie kątów trójkąta., Egzamin gimnazjalny, Egzaminy, III. Modelowanie matematyczne., III.10.3, III.10.4, III.9.3

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2017 - zadanie 17

Autor Paweł 11 października, 2017 23 listopada, 2018

Zadanie 17 (0-1)

W okręgu o środku S zaznaczono kąt oparty na łuku AB. Przez punkt B poprowadzono prostą k styczną do okręgu.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zaznaczony na rysunku kąt α zawarty między styczną k i cięciwą AB ma miarę

A. 21°

B. 42°

C. 48°

D. 69°

Źródło CKE - Arkusz ezgaminacyjny 2017/2018

Czytaj dalej

10. Figury płaskie. Uczeń:, 10.8) korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach […]., 2017, Egzamin gimnazjalny, Egzaminy, V. Rozumowanie i argumentacja., V.10.8

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2017 - zadanie 16

Autor Paweł 11 października, 2017 23 listopada, 2018

Zadanie 16 (0-1)

Z kwadratu odcięto trójkąty tak, że linie cięcia przeprowadzono przez środki boków tego kwadratu (rysunek I).

Z odciętych trójkątów ułożono trójkąt ABC (rysunek II).

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Trójkąt ABC jest prostokątny i równoramienny	P	F
Pole trójkąta ABC jest połową pola kwadratu	P	F

Czytaj dalej

10. Figury płaskie. Uczeń:, 10.6) oblicza pole koła, pierścienia kołowego, wycinka kołowego;, 10.9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów, 2017, Egzamin gimnazjalny, Egzaminy, III. Modelowanie matematyczne., III.10.6, III.10.9

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2017 - zadanie 15

Autor Paweł 11 października, 2017 23 listopada, 2018

Zadanie 15 (0-1)

Z kartki w kształcie kwadratu o boku 6 odcięto ćwierć koła o promieniu 6 (patrz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni pozostałej zacieniowanej części kartki jest równe

A.

B.

C.

D.

Czytaj dalej"Egzamin gimnazjalny z matematyki 2017 - zadanie 15"

10.7) stosuje twierdzenie Pitagorasa., Kalkulatory matematyczne, Planimetria

Twierdzenie Pitagorasa

Autor Paweł 21 lipca, 2016 15 lipca, 2019

Twierdzenie Pitagorasa:

W każdym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych równa się kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Równanie ma postać: a²+b²=c²

Czytaj dalej

10. Figury płaskie. Uczeń:, 10.22) rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności., 2016, Egzamin gimnazjalny, Egzaminy, V. Rozumowanie i argumentacja., V.10.22

Egz. gim. z mat. 2016 - z. 19: Każdy bok kwadratu ABCD

Autor Paweł 23 kwietnia, 2016 16 lutego, 2019

Zadanie 19 (0-1)

Każdy bok kwadratu ABCD podzielono na 3 równe części i połączono kolejno punkty podziału, w wyniku czego otrzymano ośmiokąt (rysunek).

Które z poniższych zdań jest prawdziwe? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. Ośmiokąt jest foremny

B. Wszystkie boki ośmiokąta mają taką samą długość.

C. Każdy kąt wewnętrzny ośmiokąta ma miarę 135°.

D. Obwód ośmiokąta jest większy od obwodu kwadratu ABCD.

Czytaj dalej"Egz. gim. z mat. 2016 - z. 19: Każdy bok kwadratu ABCD"

10. Figury płaskie. Uczeń:, 10.7) stosuje twierdzenie Pitagorasa., 2016, 4. Pierwiastki. Uczeń:, 4.3) mnoży i dzieli pierwiastki drugiego stopnia., Egzamin gimnazjalny, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.10.7, IV.4.3

Egz. gim. z mat. 2016 - z. 18: Ewa narysowała kwadrat o boku 1

Autor Paweł 23 kwietnia, 2016 23 stycznia, 2019

Zadanie 18 (0-1)

Ewa narysowała kwadrat o boku 1, prostokąt o bokach 2 i 1 oraz kąt prosty o wierzchołku O.

Egz. gim. z mat. 2016 - z. 18: Ewa narysowała kwadrat o boku 1 — Źródło CKE: egzamin gimnazjalny 2016

Następnie od wierzchołka O kąta prostego odmierzyła na jednym ramieniu kąta odcinek OA o długości równej przekątnej kwadratu, a na drugim ramieniu – odcinek OB o długości równej przekątnej prostokąta.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość odcinka AB jest równa

A.

B.

C.

D.

Czytaj dalej"Egz. gim. z mat. 2016 - z. 18: Ewa narysowała kwadrat o boku 1"

10. Figury płaskie. Uczeń:, 10.9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów, 2016, 9. Wielokąty, koła, okręgi. Uczeń:, 9.5) zna najważniejsze własności kwadratu […], Egzamin gimnazjalny, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.P9.5

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2016 - zadanie 17

Autor Paweł 23 kwietnia, 2016 16 stycznia, 2019

Zadanie 17 (0-1)

Punkty i są środkami boków i kwadratu (rysunek).

Źródło CKE: egzamin gimnazjalny kwiecień 2016

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli zdanie jest fałszywe.

Pole trójkąta stanowi pola kwadratu .	P	F
Pole czworokąta stanowi pola kwadratu .	P	F

Czytaj dalej"Egzamin gimnazjalny z matematyki 2016 - zadanie 17"

10. Figury płaskie. Uczeń:, 10.3) korzysta z faktu, że styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności., 2016, Egzamin gimnazjalny, Egzaminy, I. Wykorzystanie i tworzenie informacji., I.10.3

Egz. gim. z mat. 2016 - z. 16: Proste KA i KB są styczne do okręgu

Autor Paweł 23 kwietnia, 2016 10 października, 2018

Zadanie 16 (0-1)

Proste KA i KB są styczne do okręgu o środku S w punktach A i B, a kąt BMA ma miarę 42° (rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kąt jest równy

A.

B.

C.

D.

Czytaj dalej"Egz. gim. z mat. 2016 - z. 16: Proste KA i KB są styczne do okręgu"

Przyprostokątne mają długość: PR=12 i RS=9.	P	F
Przeciwprostokątna AC ma długość 10 cm	P	F

Zadanie

Dane są dwa trójkąty prostokątne ABC i PRS (patrz rysunek). W trójkącie ABC przyprostokątne mają długość 8 i 6 cm. W trójkącie PRS przeciwprostokątna ma długość 15 cm.

Jedno z najpopularniejszych haseł wyszukiwania w Google dla początkowego ciągu liter "wzó" to "wzór na pole koła"*.

Wzór cv, czy wzór wypowiedzenia nas teraz nie interesuje. To zacznijmy od wzoru na pole koła:

Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od kąta wpisanego w okrąg.

Zadanie 19 (0-1)

Na przekątnej BD kwadratu ABCD o boku długości 4 zbudowano trójkąt równoboczny BED.

Zadanie 18 (0-1)

Na rysunku przedstawiono okrąg o środku O oraz kąt środkowy o mierze 280°. Punkty A i B znajdują się na okręgu. Prosta k jest styczna do okręgu w punkcie B.

Zadanie 16 (0-1)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm.

Zadanie 15 (0-1)

Na kwadratowej siatce narysowano pewien wielokąt (patrz rysunek). Jego wierzchołki znajdują się w punktach przecięcia linii siatki.

Zadanie 11 (0-1)

Na rysunku przedstawiono dwie figury. Figura I powstała przez usunięcie dwóch kwadratów jednostkowych z kwadratu o boku długości 6, a figura II powstała przez usunięcie dwóch kwadratów jednostkowych z prostokąta o bokach długości 4 i 8.

Zadanie 23 (0-4)

Zadanie 18 (0-1)

Prostokąt o wymiarach cm i cm podzielono na 15 jednakowych kwadratów.

Zadanie 17 (0-1)

W okręgu o środku S zaznaczono kąt oparty na łuku AB. Przez punkt B poprowadzono prostą k styczną do okręgu.

Zadanie 16 (0-1)

Z kwadratu odcięto trójkąty tak, że linie cięcia przeprowadzono przez środki boków tego kwadratu (rysunek I).

Zadanie 15 (0-1)

Z kartki w kształcie kwadratu o boku 6 odcięto ćwierć koła o promieniu 6 (patrz rysunek).

Zadanie 19 (0-1)

Każdy bok kwadratu ABCD podzielono na 3 równe części i połączono kolejno punkty podziału, w wyniku czego otrzymano ośmiokąt (rysunek).

Zadanie 18 (0-1)

Ewa narysowała kwadrat o boku 1, prostokąt o bokach 2 i 1 oraz kąt prosty o wierzchołku O.

Zadanie 17 (0-1)

Punkty i są środkami boków i kwadratu (rysunek).

Zadanie 16 (0-1)

Proste KA i KB są styczne do okręgu o środku S w punktach A i B, a kąt BMA ma miarę 42° (rysunek).

Prostokąt o wymiarach $3\sqrt{3}$ cm i $5\sqrt{3}$ cm podzielono na 15 jednakowych kwadratów.