2021, 7. Planimetria, 7.3) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje cechy podobieństwa trójkątów, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.7.3, Matura, Poziom Podstawowy, Poziom Podstawowy - maj

Matura maj 2021 p. podstawowy matematyka - z. 33

Autor Paweł 5 maja, 2021 11 czerwca, 2023

Zadanie 33 (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2021

2015

Trójkąt równoboczny ABC ma pole równe 9√3. Prosta równoległa do boku przecina boki AB i BC – odpowiednio – w punktach K i L. Trójkąty ABC i AKL są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy $\frac{3}{2}$ . Oblicz długość boku trójkąta AKL.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (05.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2021, 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej, 8.6) oblicza odległość dwóch punktów, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.8.6, Matura, Poziom Podstawowy, Poziom Podstawowy - maj

Matura maj 2021 p. podstawowy matematyka - z. 25

Autor Paweł 5 maja, 2021 11 czerwca, 2023

Zadanie 25 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021

2015

Punkt A = (3, −5) jest wierzchołkiem kwadratu, a punkt M = (1, 3) jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu jest równe

A. 68

B. 136

C. 2 $sqrt{34}$

D. 8 $sqrt{34}$

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (05.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2021, 7. Planimetria, 7.4) korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.7.4, Matura, Poziom Podstawowy, Poziom Podstawowy - maj

Matura maj 2021 p. podstawowy matematyka - z. 18

Autor Paweł 5 maja, 2021 2 czerwca, 2023

Zadanie 18 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021

2015

Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 8 oraz $tg \alpha =\frac{2}{5}$ (zobacz rysunek).

Pole tego trójkąta jest równe

A. 12

B. $\frac{37}{3}$

C. $\frac{62}{5}$

D. $\frac{64}{5}$

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (05.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2021, 7. Planimetria, 7.1) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.7.1, Matura, Poziom Podstawowy, Poziom Podstawowy - maj

Matura maj 2021 p. podstawowy matematyka - z. 17

Autor Paweł 5 maja, 2021 7 czerwca, 2023

Zadanie 17 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021

2015

Prosta k jest styczna w punkcie A do okręgu o środku O. Punkt B leży na tym okręgu i miara kąta AOB jest równa 80°. Przez punkty O i B poprowadzono prostą, która przecina prostą k w punkcie C (zobacz rysunek).

Miara kąta BAC jest równa

A. 10°

B. 30°

C. 40°

D. 50°

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj (05.05.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2021, Egzaminy, G10. Figury płaskie, G10.9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.G10.9, Matura, Poziom Podstawowy

Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 33

Autor Paweł 4 marca, 2021 12 czerwca, 2023

Zadanie 33 (0-2) - matura poziom podstawowy marzec 2021

2015

Dany jest czworokąt ABCD, w którym |BC|=|CD|=|AD|=13. (zobacz rysunek). Przekątna BD tego czworokąta ma długość 10 i jest prostopadła do boku AD. Oblicz pole czworokąta ABCD.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura marzec (04.03.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2021, 6. Trygonometria, 6.4) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.6.4, Matura, Poziom Podstawowy

Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 32

Autor Paweł 4 marca, 2021 11 czerwca, 2023

Zadanie 32 (0-2) - matura poziom podstawowy marzec 2021

2015

Kąt α jest ostry i $sin\alpha+cos\alpha=\frac{7}{5}$ . Oblicz wartość wyrażenia 2sinαcosα.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura marzec (04.03.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2021, 7. Planimetria, 7.1) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.7.1, Poziom Podstawowy, Poziom Podstawowy - marzec

Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 13

Autor Paweł 4 marca, 2021 2 stycznia, 2023

Zadanie 13 (0-1)

Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku O. Miara kąta CAO jest równa 70° (zobacz rysunek). Wtedy miara kąta ABC jest równa

A. 20°

B. 25°

C. 30°

D. 35°

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura marzec (04.03.2021) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2020, 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej, 8.3) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt;, 8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych, 8.5) wyznacza współrzędne środka odcinka, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.8.3, IV.8.4, IV.8.5, Matura, Poziom Podstawowy

Matura 2020 p. podstawowy matematyka - z. 32

Autor Paweł 10 czerwca, 2020 15 czerwca, 2023

Zadanie 32 (0-4) - matura poziom podstawowy maj 2020

2015

Dany jest kwadrat ABCD, w którym $A=(5, -\frac{5}{3})$ . Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu $y=\frac{4}{3}x$ . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz pole kwadratu ABCD.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (09.06.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2020, 6. Trygonometria, 6.4) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.6.4, Matura, Poziom Podstawowy

Matura 2020 p. podstawowy matematyka - z. 31

Autor Paweł 10 czerwca, 2020 7 lutego, 2023

Zadanie 31 (0-2)

Kąt α jest ostry i spełnia warunek $\frac{2sin\alpha+3cos\alpha}{cos \alpha}=4$ . Oblicz tangens kąta α.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (09.06.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2020, Egzaminy, G10. Figury płaskie, G10.9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.G10.9, Matura, Poziom Podstawowy

Matura 2020 p. podstawowy matematyka - z. 22

Autor Paweł 10 czerwca, 2020 28 grudnia, 2020

Zadanie 22 (0-1)

Pole prostokąta ABCD jest równe 90. Na bokach AB i CD wybrano – odpowiednio – punkty P i R, takie, że $\frac{|AP|}{|PB|}=\frac{|CR|}{|RD|}=\frac{3}{2}$ (zobacz rysunek).

Pole czworokąta APCR jest równe

A. 36

B. 40

C. 54

D. 60

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (09.06.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2020, 7. Planimetria, 7.1) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.7.1, Matura, Poziom Podstawowy

Matura 2020 p. podstawowy matematyka - z. 17

Autor Paweł 10 czerwca, 2020 9 listopada, 2020

Zadanie 17 (0-1)

Punkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt środkowy DOC ma miarę 118° (zobacz rysunek).

Miara kąta ABC jest równa

A. 59°

B. 48°

C. 62°

D. 31°

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (09.06.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2020, 7. Planimetria, 9. Stereometria, 9.6) stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.9.6, IV.R7.1, Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R7.1) stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu;

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 14

Autor Paweł 8 maja, 2020 27 czerwca, 2022

Zadanie 14 (0-6)

Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD (AB||CD). Ramiona tego trapezu mają długości |AD|=10 i |BC|=16, a miara kąta ABC jest równa 30°. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α , taki, że $tg\alpha=\frac{9}{2}$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2020, 7. Planimetria, 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.R7.3, IV.R8.5, Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R7.3) znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych w jednokładności (odcinka, trójkąta, czworokąta itp.);, R8.5) posługuje się równaniem okręgu (x–a)2+(y–b)2=r2 oraz opisuje koła za pomocą nierówności;

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 12

Autor Paweł 8 maja, 2020 27 czerwca, 2022

Zadanie 12 (0-5)

Prosta o równaniu x+y-10=0 przecina okrąg o równaniu x²+y²-8x-6y+8=0 w punktach K i L. Punkt S jest środkiem cięciwy KL. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku S i skali k = −3.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2020, 6. Trygonometria, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.R6.6, Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R6.6) rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu sin2x=½

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 9

Autor Paweł 8 maja, 2020 27 czerwca, 2022

Zadanie 9 (0-4)

Rozwiąż równanie 3cos2x+10cos²x=24sinx-3 dla x∈<0, 2π>.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:, 2020, 4. Funkcje, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.R1.1, IV.R4.4, Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R1.1) wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną, R4.4) szkicuje wykres funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami; odczytuje własności takiej funkcji z wykresu.

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 6

Autor Paweł 8 maja, 2020 22 czerwca, 2022

Zadanie 6 (0-3)

Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których równanie |x-5|=(a-1)²-4 ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2020, 7. Planimetria, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.R7.5, Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R7.5) znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 5

Autor Paweł 8 maja, 2020 22 czerwca, 2022

Zadanie 5 (0-2)

W trójkącie ABC bok AB jest 3 razy dłuższy od boku AC, a długość boku BC stanowi $\frac{4}{5}$ długości boku AB. Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta ABC. W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2019, 7. Planimetria, 7.1) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.7.1, Matura

Matura 2019 p. pdst. czerwiec matematyka - z. 16

Autor Paweł 30 czerwca, 2019 20 listopada, 2019

Zadanie 16 (0-1)

Na okręgu o środku w punkcie O wybrano trzy punkty A, B, C tak, że |∢AOB|=70°, |∢OAC|=25°. Cięciwa AC przecina promień OB (zobacz rysunek). Wtedy miara ∢OBC jest równa:

A) α=25°

B) α=60°

C) α=70°

D) α=85°

Czytaj dalej"Matura 2019 p. pdst. czerwiec matematyka - z. 16"

2019, 6. Trygonometria, 6.1) wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens, 9. Stereometria, 9.2) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.6.1, IV.9.2, Matura, Poziom Podstawowy

Matura 2019 p. podstawowy matematyka - z. 34

Autor Paweł 7 maja, 2019 20 lipca, 2019

Zadanie 34 (0-5)

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α.

Źródło: CKE matura 2019 poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura 2019 p. podstawowy matematyka - z. 34"

2019, 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej, 8.3) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt;, 8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych, 8.5) wyznacza współrzędne środka odcinka, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.8.3, IV.8.4, IV.8.5, Matura, Poziom Podstawowy

Matura 2019 p. podstawowy matematyka - z. 33

Autor Paweł 7 maja, 2019 14 grudnia, 2020

Zadanie 33 (0-4)

Dany jest punkt A=(-18,10). Prosta o równaniu y=3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2018/2019 - Matura maj poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura 2019 p. podstawowy matematyka - z. 33"

2019, 7. Planimetria, 7.4) korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.7.4, Matura, Poziom Podstawowy

Matura 2019 p. podstawowy matematyka - z. 31

Autor Paweł 7 maja, 2019 20 lipca, 2019

Zadanie 31 (0-2)

W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30° (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.

Źródło: CKE matura 2019 poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura 2019 p. podstawowy matematyka - z. 31"

Zadanie 33 (0-2) - matura poziom podstawowy maj 2021

Trójkąt równoboczny ABC ma pole równe 9√3. Prosta równoległa do boku przecina boki AB i BC – odpowiednio – w punktach K i L. Trójkąty ABC i AKL są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy . Oblicz długość boku trójkąta AKL.

Zadanie 25 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021

Punkt A = (3, −5) jest wierzchołkiem kwadratu, a punkt M = (1, 3) jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu jest równe

Zadanie 18 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021

Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 8 oraz (zobacz rysunek).

Pole tego trójkąta jest równe

Zadanie 17 (0-1) - matura poziom podstawowy maj 2021

Prosta k jest styczna w punkcie A do okręgu o środku O. Punkt B leży na tym okręgu i miara kąta AOB jest równa 80°. Przez punkty O i B poprowadzono prostą, która przecina prostą k w punkcie C (zobacz rysunek).

Miara kąta BAC jest równa

Zadanie 33 (0-2) - matura poziom podstawowy marzec 2021

Dany jest czworokąt ABCD, w którym |BC|=|CD|=|AD|=13. (zobacz rysunek). Przekątna BD tego czworokąta ma długość 10 i jest prostopadła do boku AD. Oblicz pole czworokąta ABCD.

Zadanie 32 (0-2) - matura poziom podstawowy marzec 2021

Kąt α jest ostry i . Oblicz wartość wyrażenia 2sinαcosα.

Zadanie 13 (0-1)

Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku O. Miara kąta CAO jest równa 70° (zobacz rysunek). Wtedy miara kąta ABC jest równa

Zadanie 32 (0-4) - matura poziom podstawowy maj 2020

Dany jest kwadrat ABCD, w którym . Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz pole kwadratu ABCD.

Zadanie 31 (0-2)

Kąt α jest ostry i spełnia warunek . Oblicz tangens kąta α.

Zadanie 22 (0-1)

Pole prostokąta ABCD jest równe 90. Na bokach AB i CD wybrano – odpowiednio – punkty P i R, takie, że (zobacz rysunek).

Zadanie 17 (0-1)

Punkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt środkowy DOC ma miarę 118° (zobacz rysunek).

Zadanie 14 (0-6)

Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD (AB||CD). Ramiona tego trapezu mają długości |AD|=10 i |BC|=16, a miara kąta ABC jest równa 30°. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α , taki, że . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 12 (0-5)

Prosta o równaniu x+y-10=0 przecina okrąg o równaniu x2+y2-8x-6y+8=0 w punktach K i L. Punkt S jest środkiem cięciwy KL. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku S i skali k = −3.

Zadanie 9 (0-4)

Rozwiąż równanie 3cos2x+10cos2x=24sinx-3 dla x∈<0, 2π>.

Zadanie 6 (0-3)

Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których równanie |x-5|=(a-1)2-4 ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Zadanie 5 (0-2)

Zadanie 16 (0-1)

Na okręgu o środku w punkcie O wybrano trzy punkty A, B, C tak, że |∢AOB|=70°, |∢OAC|=25°. Cięciwa AC przecina promień OB (zobacz rysunek). Wtedy miara ∢OBC jest równa:

Zadanie 34 (0-5)

Zadanie 33 (0-4)

Dany jest punkt A=(-18,10). Prosta o równaniu y=3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B.

Zadanie 31 (0-2)

W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30° (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.

Trójkąt równoboczny ABC ma pole równe 9√3. Prosta równoległa do boku przecina boki AB i BC – odpowiednio – w punktach K i L. Trójkąty ABC i AKL są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy $\frac{3}{2}$ . Oblicz długość boku trójkąta AKL.

Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 8 oraz $tg \alpha =\frac{2}{5}$ (zobacz rysunek).

Kąt α jest ostry i $sin\alpha+cos\alpha=\frac{7}{5}$ . Oblicz wartość wyrażenia 2sinαcosα.

Dany jest kwadrat ABCD, w którym $A=(5, -\frac{5}{3})$ . Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu $y=\frac{4}{3}x$ . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz pole kwadratu ABCD.

Kąt α jest ostry i spełnia warunek $\frac{2sin\alpha+3cos\alpha}{cos \alpha}=4$ . Oblicz tangens kąta α.

Pole prostokąta ABCD jest równe 90. Na bokach AB i CD wybrano – odpowiednio – punkty P i R, takie, że $\frac{|AP|}{|PB|}=\frac{|CR|}{|RD|}=\frac{3}{2}$ (zobacz rysunek).

Prosta o równaniu x+y-10=0 przecina okrąg o równaniu x²+y²-8x-6y+8=0 w punktach K i L. Punkt S jest środkiem cięciwy KL. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku S i skali k = −3.

Rozwiąż równanie 3cos2x+10cos²x=24sinx-3 dla x∈<0, 2π>.

Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których równanie |x-5|=(a-1)²-4 ma dwa różne rozwiązania dodatnie.