2. Wyrażenia algebraiczne, 2.1. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia, 2020, Egzaminy, II.2.1, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Podstawowy

Matura 2020 p. podstawowy matematyka - z. 1

Autor Paweł 10 czerwca, 2020 30 października, 2020

Zadanie 1 (0-1)

Wartość wyrażenia x²-6x+9 dla $x=\sqrt{3}+3$ jest równa

A. 1

B. 3

C. $1+2\sqrt{3}$

D. $1-2\sqrt{3}$

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (09.06.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

11. Rachunek różniczkowy, 2020, Egzaminy, III. Modelowanie matematyczne, III.R11.6, Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R11.6) stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 15

Autor Paweł 8 maja, 2020 27 czerwca, 2022

Zadanie 15 (0-7)

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm². Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2020, 7. Planimetria, 9. Stereometria, 9.6) stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.9.6, IV.R7.1, Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R7.1) stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu;

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 14

Autor Paweł 8 maja, 2020 27 czerwca, 2022

Zadanie 14 (0-6)

Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD (AB||CD). Ramiona tego trapezu mają długości |AD|=10 i |BC|=16, a miara kąta ABC jest równa 30°. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α , taki, że $tg\alpha=\frac{9}{2}$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka, 2020, Egzaminy, III. Modelowanie matematyczne, III.R10.1, Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R10.1) wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych;

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 13

Autor Paweł 8 maja, 2020 27 czerwca, 2022

Zadanie 13 (0-4)

Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2020, 7. Planimetria, 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.R7.3, IV.R8.5, Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R7.3) znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych w jednokładności (odcinka, trójkąta, czworokąta itp.);, R8.5) posługuje się równaniem okręgu (x–a)2+(y–b)2=r2 oraz opisuje koła za pomocą nierówności;

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 12

Autor Paweł 8 maja, 2020 27 czerwca, 2022

Zadanie 12 (0-5)

Prosta o równaniu x+y-10=0 przecina okrąg o równaniu x²+y²-8x-6y+8=0 w punktach K i L. Punkt S jest środkiem cięciwy KL. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku S i skali k = −3.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2020, 3. Równania i nierówności, Egzaminy, III. Modelowanie matematyczne, III.R3.1, Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R3.1) stosuje wzory Viète’a;

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 11

Autor Paweł 8 maja, 2020 27 czerwca, 2022

Zadanie 11 (0-4)

Dane jest równanie kwadratowe x²-(3m+2)x+2m²+7m-15=0 z niewiadomą x. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których różne rozwiązania x₁ i x₂ tego równania istnieją i spełniają warunek

2x₁²+5x₁x₂+2x₂²=2

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2020, 5. Ciągi, 5.3) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, 5.4) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, Egzaminy, Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, V. Rozumowanie i argumentacja., V.5.3, V.5.4

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 10

Autor Paweł 8 maja, 2020 27 czerwca, 2022

Zadanie 10 (0-5)

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a₁, a₂, a₃), spełniona jest równość $a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}$ . Wyrazy a₁, a₂, a₃ są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz a₁.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2020, 6. Trygonometria, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.R6.6, Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R6.6) rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu sin2x=½

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 9

Autor Paweł 8 maja, 2020 27 czerwca, 2022

Zadanie 9 (0-4)

Rozwiąż równanie 3cos2x+10cos²x=24sinx-3 dla x∈<0, 2π>.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2. Wyrażenia algebraiczne, 2.1. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia, 2020, Egzaminy, Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, V. Rozumowanie i argumentacja., V.2.1

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 8

Autor Paweł 8 maja, 2020 27 czerwca, 2022

Zadanie 8 (0-3)

Liczby dodatnie a i b spełniają równość a²+2a=4b²+4b. Wykaż, że a=2b.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2020, 7. Planimetria, 7.3) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje cechy podobieństwa trójkątów, Egzaminy, Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, V. Rozumowanie i argumentacja., V.7.3

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 7

Autor Paweł 8 maja, 2020 27 czerwca, 2022

Zadanie 7 (0-3)

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|=6 , a punkt D jest środkiem podstawy AB. Okrąg o środku D jest styczny do prostej AC w punkcie M. Punkt K leży na boku AC, punkt L leży na boku BC, odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu oraz |KC|=|LC|=2 (zobacz rysunek).

Wykaż, że $\frac{|AM|}{|MC|}=\frac{4}{5}$

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:, 2020, 4. Funkcje, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.R1.1, IV.R4.4, Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R1.1) wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną, R4.4) szkicuje wykres funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami; odczytuje własności takiej funkcji z wykresu.

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 6

Autor Paweł 8 maja, 2020 22 czerwca, 2022

Zadanie 6 (0-3)

Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których równanie |x-5|=(a-1)²-4 ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2020, 7. Planimetria, Egzaminy, IV. Użycie i tworzenie strategii., IV.R7.5, Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R7.5) znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 5

Autor Paweł 8 maja, 2020 22 czerwca, 2022

Zadanie 5 (0-2)

W trójkącie ABC bok AB jest 3 razy dłuższy od boku AC, a długość boku BC stanowi $\frac{4}{5}$ długości boku AB. Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta ABC. W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2. Wyrażenia algebraiczne, 2.1. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia, 2020, Egzaminy, II.2.1, II.R2.1, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R2.1) używa wzorów skróconego mnożenia na (a±b)3 oraz a3±b3

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 4

Autor Paweł 8 maja, 2020 22 czerwca, 2022

Zadanie 4 (0-1)

Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego (x√2+y√3)⁴ do postaci ax⁴+bx³y+cx²y²+dxy³+ey⁴ współczynnik c jest równy

A. 6

B. 36

C. $8\sqrt{6}$

D. $12\sqrt{6}$

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka, 2020, Egzaminy, III. Modelowanie matematyczne, III.R10.1, Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R10.1) wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych;

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 3

Autor Paweł 8 maja, 2020 22 czerwca, 2022

Zadanie 3 (0-1)

Mamy dwie urny. W pierwszej są 3 kule białe i 7 kul czarnych, w drugiej jest jedna kula biała i 9 kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

A. $\frac{2}{15}$

B. $\frac{1}{5}$

C. $\frac{4}{5}$

D. $-\frac{13}{15}$

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2020, 5. Ciągi, Egzaminy, II.R5.2, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R5.2) oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu 1/n, 1/n2 oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów;

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 2

Autor Paweł 8 maja, 2020 22 czerwca, 2022

Zadanie 2 (0-1)

Ciąg (a_n) jest określony wzorem $a_n=\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}$ dla każdej liczby naturalnej n≥1.
Granica tego ciągu jest równa

A. 3

B. $\frac{1}{5}$

C. $\frac{3}{5}$

D. $-\frac{5}{11}$

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2020, 3. Równania i nierówności, Egzaminy, II.R3.4, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R3.4) stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x–a;

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 1

Autor Paweł 8 maja, 2020 22 czerwca, 2022

Zadanie 1 (0-1)

Wielomian W określony wzorem W(x)=x²⁰¹⁹-3x²⁰⁰⁰+2x+6

A. jest podzielny przez (x-1) i z dzielenia przez (x+1) daje resztę równą 6.

B. jest podzielny przez (x+1) i z dzielenia przez (x-1) daje resztę równą 6.

C. jest podzielny przez (x-1) i jest podzielny przez (x+1).

D. nie jest podzielny przez (x-1), ani (x+1).

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

11. Rachunek różniczkowy

Gdy nie pamiętam wzoru ... pochodna tangensa

Autor Paweł 2 grudnia, 2019 2 grudnia, 2019

Wyprowadźmy wzór na pochodną tangensa. Punktem wyjścia będzie wzór na pochodną funkcji będącej ilorazem dwóch funkcji:

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

Pochodna ma postać:

$f$

Drugim istotnym elementem będzie tangens wyrażony jako iloraz funkcji sinus i cosinus:

$f(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}$

Czytaj dalej

6. Trygonometria, 6.4) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi, 6.5) znając wartość jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego, Repetytorium maturalne

Arkusz maturalny - trygonometria

Autor Paweł 12 listopada, 2019 7 kwietnia, 2025

Czytaj dalej"Arkusz maturalny - trygonometria"

4. Funkcje, 4.10) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej, 4.8. szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru, 4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji, Repetytorium maturalne

Arkusz maturalny - funkcja kwadratowa

Autor Paweł 12 listopada, 2019 6 grudnia, 2023

Zestaw zadań maturalnych z lat ubiegłych posegregowanych tematycznie. Temat przewodni zestawu - funkcja kwadratowa - poziom podstawowy

Zadania maturalne: funkcja kwadratowa

Czytaj dalej

4. Funkcje, 4.2) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu, 4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji – zbiór wartości, 4.4) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x + a), Arkusz maturalny - funkcje, Repetytorium maturalne

Arkusz maturalny - funkcje

Autor Paweł 12 listopada, 2019 14 grudnia, 2022

Zestaw zadań maturalnych z lat ubiegłych posegregowanych tematycznie. Temat przewodni zestawu - funkcje.

Czytaj dalej"Arkusz maturalny - funkcje"

Zadanie 1 (0-1)

Wartość wyrażenia x2-6x+9 dla jest równa

Zadanie 15 (0-7)

Zadanie 14 (0-6)

Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD (AB||CD). Ramiona tego trapezu mają długości |AD|=10 i |BC|=16, a miara kąta ABC jest równa 30°. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α , taki, że . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 13 (0-4)

Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.

Zadanie 12 (0-5)

Prosta o równaniu x+y-10=0 przecina okrąg o równaniu x2+y2-8x-6y+8=0 w punktach K i L. Punkt S jest środkiem cięciwy KL. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku S i skali k = −3.

Zadanie 11 (0-4)

Dane jest równanie kwadratowe x2-(3m+2)x+2m2+7m-15=0 z niewiadomą x. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których różne rozwiązania x1 i x2 tego równania istnieją i spełniają warunek

2x12+5x1x2+2x22=2

Zadanie 10 (0-5)

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a1, a2, a3), spełniona jest równość . Wyrazy a1, a2, a3 są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz a1.

Zadanie 9 (0-4)

Rozwiąż równanie 3cos2x+10cos2x=24sinx-3 dla x∈<0, 2π>.

Zadanie 8 (0-3)

Liczby dodatnie a i b spełniają równość a2+2a=4b2+4b. Wykaż, że a=2b.

Zadanie 7 (0-3)

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|=6 , a punkt D jest środkiem podstawy AB. Okrąg o środku D jest styczny do prostej AC w punkcie M. Punkt K leży na boku AC, punkt L leży na boku BC, odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu oraz |KC|=|LC|=2 (zobacz rysunek).

Zadanie 6 (0-3)

Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których równanie |x-5|=(a-1)2-4 ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Zadanie 5 (0-2)

Zadanie 4 (0-1)

Zadanie 3 (0-1)

Zadanie 2 (0-1)

Ciąg (an) jest określony wzorem dla każdej liczby naturalnej n≥1.Granica tego ciągu jest równa

Zadanie 1 (0-1)

Zadania maturalne: funkcja kwadratowa

Wartość wyrażenia x²-6x+9 dla $x=\sqrt{3}+3$ jest równa

Prosta o równaniu x+y-10=0 przecina okrąg o równaniu x²+y²-8x-6y+8=0 w punktach K i L. Punkt S jest środkiem cięciwy KL. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku S i skali k = −3.

Dane jest równanie kwadratowe x²-(3m+2)x+2m²+7m-15=0 z niewiadomą x. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których różne rozwiązania x₁ i x₂ tego równania istnieją i spełniają warunek

2x₁²+5x₁x₂+2x₂²=2

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a₁, a₂, a₃), spełniona jest równość $a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}$ . Wyrazy a₁, a₂, a₃ są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz a₁.

Rozwiąż równanie 3cos2x+10cos²x=24sinx-3 dla x∈<0, 2π>.

Liczby dodatnie a i b spełniają równość a²+2a=4b²+4b. Wykaż, że a=2b.

Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których równanie |x-5|=(a-1)²-4 ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Ciąg (a_n) jest określony wzorem $a_n=\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}$ dla każdej liczby naturalnej n≥1.
Granica tego ciągu jest równa