Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.

a) Wykaż, że pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości b ramienia, wyraża się wzorem

b) Wyznacz dziedzinę funkcji P.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Punkt A = (−3, 2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC zawarty jest w prostej o równaniu y = x − 1. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dany jest graniastosłup prosty ABCDEFGH o podstawie prostokątnej ABCD. Przekątne AH i AF ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze α takiej, że (zobacz rysunek). Pole trójkąta AFH jest równe 26,4. Oblicz wysokość h tego graniastosłupa.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie

x²-(m+1)x+m=0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x₁ oraz x₂, spełniające warunki:

oraz

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Rozwiąż równanie sin x + sin 2x + sin 3x = 0 w przedziale 〈0, π〉.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto i
Ciąg (b_n), określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu (a_n) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (b_n). Ponadto a₃ = b₄. Oblicz b₁.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Reszta z dzielenia wielomianu W(x)=4x³−6x²−(5m + 1)x−2m przez dwumian x+2 jest równa (−30). Oblicz m i dla wyznaczonej wartości m rozwiąż nierówność W(x)≥0.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Punkt P jest punktem przecięcia przekątnych trapezu ABCD. Długość podstawy CD jest o 2 mniejsza od długości podstawy AB. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym CPD jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie APB. Wykaż, że spełniony jest warunek .

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Rozwiąż równanie:

|x-3|=2x+11

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że 2x > y, spełniona jest nierówność

7x³+4x²y≥y³+2xy²-x²

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Ciąg (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 wzorem , gdzie p jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość p, dla której granica ciągu (a_n) jest równa
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Jeżeli i , to wartość wyrażenia jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Funkcja f jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej x≠2. Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Liczba jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę