2. Wyrażenia algebraiczne, 2.1. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia, 2020, Egzaminy, II.2.1, II.R2.1, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R2.1) używa wzorów skróconego mnożenia na (a±b)3 oraz a3±b3

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 4

Autor Paweł 8 maja, 2020 22 czerwca, 2022

Zadanie 4 (0-1)

Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego (x√2+y√3)⁴ do postaci ax⁴+bx³y+cx²y²+dxy³+ey⁴ współczynnik c jest równy

A. 6

B. 36

C. $8\sqrt{6}$

D. $12\sqrt{6}$

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka, 2020, Egzaminy, III. Modelowanie matematyczne, III.R10.1, Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R10.1) wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych;

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 3

Autor Paweł 8 maja, 2020 22 czerwca, 2022

Zadanie 3 (0-1)

Mamy dwie urny. W pierwszej są 3 kule białe i 7 kul czarnych, w drugiej jest jedna kula biała i 9 kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

A. $\frac{2}{15}$

B. $\frac{1}{5}$

C. $\frac{4}{5}$

D. $-\frac{13}{15}$

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2020, 5. Ciągi, Egzaminy, II.R5.2, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R5.2) oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu 1/n, 1/n2 oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów;

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 2

Autor Paweł 8 maja, 2020 22 czerwca, 2022

Zadanie 2 (0-1)

Ciąg (a_n) jest określony wzorem $a_n=\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}$ dla każdej liczby naturalnej n≥1.
Granica tego ciągu jest równa

A. 3

B. $\frac{1}{5}$

C. $\frac{3}{5}$

D. $-\frac{5}{11}$

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

2020, 3. Równania i nierówności, Egzaminy, II.R3.4, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom Rozszerzony, Poziom Rozszerzony - maj 2020, R3.4) stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x–a;

Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 1

Autor Paweł 8 maja, 2020 22 czerwca, 2022

Zadanie 1 (0-1)

Wielomian W określony wzorem W(x)=x²⁰¹⁹-3x²⁰⁰⁰+2x+6

A. jest podzielny przez (x-1) i z dzielenia przez (x+1) daje resztę równą 6.

B. jest podzielny przez (x+1) i z dzielenia przez (x-1) daje resztę równą 6.

C. jest podzielny przez (x-1) i jest podzielny przez (x+1).

D. nie jest podzielny przez (x-1), ani (x+1).

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj (07.05.2020) poziom podstawowy

Czytaj dalej

1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:, 5. wykorzystuje podstawowe własności potęg, 6) wykorzystuje definicję logarytmu

Logarytmy - zadanie dowodowe - z. 1

Autor Paweł 11 października, 2019 12 października, 2019

Zadanie 1

Niech k będzie sumą liczb a, b, c, których logarytmy o podstawie 4 są kolejnymi liczbami naturalnymi. Niech l będzie sumą liczb d, e, f, których logarytmy o podstawie 5 stanowią ten sam zestaw kolejnych liczb naturalnych. Udowodnij, że iloczyn k·l jest podzielny przez 651.

Czytaj dalej

2019, Egzaminy, Matura, Poziom podstawowy - sierpień 2019

Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 34

Autor Paweł 20 sierpnia, 2019 3 października, 2019

Zadanie 34 (0-5)

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest równa 12 (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt α taki, że $tg \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Czytaj dalej"Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 34"

2019, Egzaminy, Matura, Poziom podstawowy - sierpień 2019

Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 33

Autor Paweł 20 sierpnia, 2019 2 października, 2019

Zadanie 33 (0-4)

Środek okręgu leży w odległości 10 cm od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest o 22 cm większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.

Czytaj dalej"Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 33"

2019, Egzaminy, Matura, Poziom podstawowy - sierpień 2019

Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 32

Autor Paweł 20 sierpnia, 2019 2 października, 2019

Zadanie 32 (0-4)

W ciągu arytmetycznym (a₁, a₂, ..., a₃₉, a₄₀) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 1340, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa 1400. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Czytaj dalej"Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 32"

2019, Egzaminy, Matura, Poziom podstawowy - sierpień 2019

Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 31

Autor Paweł 20 sierpnia, 2019 3 października, 2019

Zadanie 31 (0-2)

Przekątne rombu ABCD przecinają się w punkcie $S=(\frac{21}{2}, -1)$ . Punkty A i C leżą na prostej o równaniu $y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$ . Wyznacz równanie prostej BD.

Czytaj dalej"Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 31"

2019, Egzaminy, Matura, Poziom podstawowy - sierpień 2019

Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 30

Autor Paweł 20 sierpnia, 2019 3 października, 2019

Zadanie 30 (0-2)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosowana liczba ma w zapisie dziesiętnym cyfrę dziesiątek, która należy do zbioru {1,3,5,7,9} i jednocześnie cyfrę jedności, która należy do zbioru {0,2,4,6,8}.

Czytaj dalej"Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 30"

2019, Egzaminy, Matura, Poziom podstawowy - sierpień 2019

Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 29

Autor Paweł 20 sierpnia, 2019 3 października, 2019

Zadanie 29 (0-2)

Wierzchołki A i C trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu r, a środek S tego okręgu leży na boku AB trójkąta (zobacz rysunek). Prosta BC jest styczna do tego okręgu w punkcie C, a ponadto |AC|=r√3. Wykaż, że kąt ACB ma miarę 120°.

Czytaj dalej"Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 29"

2019, Egzaminy, Matura, Poziom podstawowy - sierpień 2019

Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 28

Autor Paweł 20 sierpnia, 2019 1 lipca, 2026

Zadanie 28 (0-2)

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej x prawdziwa jest nierówność

$x+\frac{1-x}{x}\geq 1{x}$

Czytaj dalej"Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 28"

2019, 3. Równania i nierówności, 3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą, Egzaminy, II.3.5, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom podstawowy - sierpień 2019

Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 27

Autor Paweł 20 sierpnia, 2019 27 października, 2019

Zadanie 27 (0-2)

Rozwiąż nierówność 2x²-5x+3 ≤ 0.

Czytaj dalej"Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 27"

2019, 3. Równania i nierówności, 3.7) korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x(x + 1)(x – 7) = 0, Egzaminy, I. Wykorzystanie i tworzenie informacji, I.3.7, Matura, Poziom podstawowy - sierpień 2019

Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 26

Autor Paweł 20 sierpnia, 2019 20 kwietnia, 2020

Zadanie 26 (0-2)

Rozwiąż równanie (x²-16)(x³-1)=0.

Czytaj dalej"Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 26"

10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka, 2019, 3) oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, Egzaminy, II.10.3, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom podstawowy - sierpień 2019

Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 25

Autor Paweł 20 sierpnia, 2019 17 listopada, 2019

Zadanie 25 (0-1)

W grupie 60 osób (kobiet i mężczyzn) jest 35 kobiet. Z tej grupy losujemy jedną osobę. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej osoby jest takie samo. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy mężczyznę, jest równe

A. $\frac{1}{60}$

B. $\frac{1}{25}$

C. $\frac{7}{12}$

D. $\frac{5}{12}$

Czytaj dalej"Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 25"

10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka, 2) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, 2019, Egzaminy, III. Modelowanie matematyczne, III.10.2, Matura, Poziom podstawowy - sierpień 2019

Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 24

Autor Paweł 20 sierpnia, 2019 13 grudnia, 2020

Zadanie 24 (0-1)

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których występują wyłącznie cyfry 1, 2, 3, jest

A. 54

B. 81

C. 8

D. 27

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2018/2019 - Matura sierpień poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 24"

2019, Egzaminy, Matura, Poziom podstawowy - sierpień 2019

Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 23

Autor Paweł 20 sierpnia, 2019 6 września, 2019

Zadanie 23 (0-1)

Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb naturalnych 3, 10, 5, x, x, x, x, 12, 19, 7 jest równa 12. Mediana tych liczb jest równa

A. 14

B. 12

C. 16

D. x

Czytaj dalej"Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 23"

2019, Egzaminy, G11. Bryły, G11.2) oblicza pole powierzchni i objętość walca, stożka, kuli, II.G11.2, III/II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji., Matura, Poziom podstawowy - sierpień 2019

Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 22

Autor Paweł 20 sierpnia, 2019 3 marca, 2021

Zadanie 22 (0-1)

Pole powierzchni całkowitej pewnego stożka jest 3 razy większa od pola powierzchni pewnej kuli. Promień tej kuli jest równy 2 i jest taki sam jak promień podstawy tego stożka. Tworząca tego stożka ma długość równą

A. 12

B. 11

C. 24

D. 22

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2018/2019 - Matura sierpień poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 22"

2019, Egzaminy, Matura, Poziom podstawowy - sierpień 2019

Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 21

Autor Paweł 20 sierpnia, 2019 29 kwietnia, 2020

Zadanie 21 (0-1)

Dany jest prostopadłościan o wymiarach 30cm×40cm×120cm (zobacz rysunek), a ponadto dane są cztery odcinki a,b,c,d, o długościach - odpowiednio - 119cm, 121cm, 129cm i 131cm.

Przekątna tego prostopadłościanu jest dłuższa:

A. tylko od odcinka a

B. tylko od odcinów a i b

C. tylko od odcinków a, b i c

D. od wszystkich czterech danych odcinków

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2018/2019 - Matura sierpień poziom podstawowy

Czytaj dalej"Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 21"

2019, Egzaminy, Matura, Poziom podstawowy - sierpień 2019

Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 20

Autor Paweł 20 sierpnia, 2019 14 kwietnia, 2020

Zadanie 20 (0-1)

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie danych jest 5 punktów: A=(1,4), B=(−5,−1), C=(−5,3), D=(6,−4), P=(−30,−76).

Punkt P należy do tej samej ćwiartki układu współrzędnych co punkt:

A. A

B. B

C. C

D. D

Czytaj dalej"Matura 2019 p. pdst. sierpień matematyka - z. 20"

Zadanie 4 (0-1)

Zadanie 3 (0-1)

Zadanie 2 (0-1)

Ciąg (an) jest określony wzorem dla każdej liczby naturalnej n≥1.Granica tego ciągu jest równa

Zadanie 1 (0-1)

Zadanie 1

Niech k będzie sumą liczb a, b, c, których logarytmy o podstawie 4 są kolejnymi liczbami naturalnymi. Niech l będzie sumą liczb d, e, f, których logarytmy o podstawie 5 stanowią ten sam zestaw kolejnych liczb naturalnych. Udowodnij, że iloczyn k·l jest podzielny przez 651.

Zadanie 34 (0-5)

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest równa 12 (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt α taki, że . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 33 (0-4)

Środek okręgu leży w odległości 10 cm od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest o 22 cm większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.

Zadanie 32 (0-4)

W ciągu arytmetycznym (a1, a2, ..., a39, a40) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 1340, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa 1400. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Zadanie 31 (0-2)

Przekątne rombu ABCD przecinają się w punkcie . Punkty A i C leżą na prostej o równaniu . Wyznacz równanie prostej BD.

Zadanie 30 (0-2)

Zadanie 29 (0-2)

Wierzchołki A i C trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu r, a środek S tego okręgu leży na boku AB trójkąta (zobacz rysunek). Prosta BC jest styczna do tego okręgu w punkcie C, a ponadto |AC|=r√3. Wykaż, że kąt ACB ma miarę 120°.

Zadanie 28 (0-2)

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej x prawdziwa jest nierówność

x+1−xx≥1xx+\frac{1-x}{x}\geq 1{x}

Zadanie 27 (0-2)

Rozwiąż nierówność 2x2-5x+3 ≤ 0.

Zadanie 26 (0-2)

Rozwiąż równanie (x2-16)(x3-1)=0.

Zadanie 25 (0-1)

W grupie 60 osób (kobiet i mężczyzn) jest 35 kobiet. Z tej grupy losujemy jedną osobę. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej osoby jest takie samo. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy mężczyznę, jest równe

Zadanie 24 (0-1)

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których występują wyłącznie cyfry 1, 2, 3, jest

Zadanie 23 (0-1)

Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb naturalnych 3, 10, 5, x, x, x, x, 12, 19, 7 jest równa 12. Mediana tych liczb jest równa

Zadanie 22 (0-1)

Pole powierzchni całkowitej pewnego stożka jest 3 razy większa od pola powierzchni pewnej kuli. Promień tej kuli jest równy 2 i jest taki sam jak promień podstawy tego stożka. Tworząca tego stożka ma długość równą

Zadanie 21 (0-1)

Dany jest prostopadłościan o wymiarach 30cm×40cm×120cm (zobacz rysunek), a ponadto dane są cztery odcinki a,b,c,d, o długościach - odpowiednio - 119cm, 121cm, 129cm i 131cm.

Przekątna tego prostopadłościanu jest dłuższa:

Zadanie 20 (0-1)

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie danych jest 5 punktów: A=(1,4), B=(−5,−1), C=(−5,3), D=(6,−4), P=(−30,−76).

Punkt P należy do tej samej ćwiartki układu współrzędnych co punkt:

Ciąg (a_n) jest określony wzorem $a_n=\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}$ dla każdej liczby naturalnej n≥1.
Granica tego ciągu jest równa

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest równa 12 (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt α taki, że $tg \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

W ciągu arytmetycznym (a₁, a₂, ..., a₃₉, a₄₀) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 1340, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa 1400. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Przekątne rombu ABCD przecinają się w punkcie $S=(\frac{21}{2}, -1)$ . Punkty A i C leżą na prostej o równaniu $y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$ . Wyznacz równanie prostej BD.

$x+\frac{1-x}{x}\geq 1{x}$

Rozwiąż nierówność 2x²-5x+3 ≤ 0.

Rozwiąż równanie (x²-16)(x³-1)=0.