Kategoria: Matura

Dane są dwa zbiory cyfr: X={1, 3, 5, 7, 9} oraz Y={0, 2, 4, 6, 8}. Losujemy jedną cyfrę ze zbioru X, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru Y. Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru X jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru Y jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez 6. Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (np.: 321, 555), jest

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość $8\sqrt{3}$ Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°.

Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dana jest prosta k o równaniu $y = -\frac{1}{3}x + 2$. Prosta l jest równoległa do prostej k i przechodzi przez punkt (2,−2).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta l przecina oś Oy w punkcie

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest okrąg O o środku w punkcie S=(1,−3) i o promieniu 5.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A=(0,−3), B=(2,1) oraz C=(0,2) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Kąt α jest ostry i spełnia warunek $\frac{3 \sin \alpha + 4 \cos \alpha}{4 \cos \alpha} = 6$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta α jest równy

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W okrąg O o promieniu $9\sqrt{3}$ wpisano trójkąt równoboczny T.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Bok trójkąta T ma długość ……… .

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM|=a oraz |LM|=b.

Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N (zobacz rysunek).

Wykaż, że stosunek pola trójkąta KNM do pola trójkąta NLM jest równy $\frac{a}{b}$.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Na płaszczyźnie dane są cztery proste: k, l, m oraz n. Proste k oraz l są równoległe. Prosta m przecina proste k oraz l w punktach – odpowiednio – A oraz C. Prosta n przecina proste k oraz l w punktach – odpowiednio – D oraz B. Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie O.

Ponadto |OA|=12, |OB|=6 oraz |OC|=8 (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek OD ma długość

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt B leży na krótszym łuku AC. Kąt CDA ma miarę 50°, a kąt COB ma miarę 30° (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego BOA jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok AC jest przeciwprostokątną oraz |BC|=2 i |AC|=2√10. Oznaczmy kąt BCA przez γ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta γ jest równy

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Ciąg geometryczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek a₃⋅a₆=18.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Iloczyn a₂⋅a₇ jest równy ……… .

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. W tym ciągu a₁=1 oraz a₅=17.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dziewiąty wyraz ciągu (a_n) jest równy

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=3n+5 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trzywyrazowy ciąg (a₁, a₉, a_k) jest geometryczny.

Oblicz k. Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w punkcie W=(3,−2). Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f wzorem g(x)=f(x+1). Jednym z miejsc zerowych funkcji g jest liczba 0.

Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment wykresu funkcji f. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji f jest nachylony do osi Ox układu współrzędnych pod kątem o mierze α (zobacz rysunek).

Funkcja f jest określona następująco:

$f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{dla } x \in [-4, 2] \\ -x + 5 & \text{dla } x \in (2, 5) \end{cases}$

Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) na rysunku poniżej.

Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.

Na to przedstawienie sprzedano łącznie 200 biletów.

Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości 25% wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł.

Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę