Kategoria: Poziom podstawowy – sierpień 2017

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |∠ACB|=90° (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej AC tego trójkąta do długości przyprostokątnej BC jest równy 4:3. Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, a długość odcinka SC jest równa 5. Pole ściany bocznej BEFC graniastosłupa jest równe 48. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Punkt C=(0,0) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego ABC, którego wierzchołek A leży na osi Ox, a wierzchołek B na osi Oy układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka C przecina przeciwprostokątną AB w punkcie D=(3, 4)

Oblicz współrzędne wierzchołków A i B tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej AB.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Funkcja kwadratowa f(x)=ax²+bx+c ma dwa miejsca zerowe x₁=-2 i x₂=6. Wykres funkcji f przechodzi przez punkt A=(1, -5). Oblicz najmniejszą wartość funkcji f.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n), określony dla n≥1, w którym spełniona jest równość a₂₁+a₂₄+a₂₇+a₃₀=100. Oblicz sumę a₂₅+a₂₆.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Ze zbioru liczb {1, 2, 4, 5, 10 } losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |∢ACB|=90° i |∢ABC|=60°. Niech D oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka C kąta prostego i przeciwprostokątnej AB tego trójkąta. Wykaż, że |AD|:|DB|=3:1.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność

.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Rozwiąż równanie (x²-6)(3x+2)=0

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Rozwiąż nierówność 2x²+x-6≤0.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Z pudełka, w którym jest tylko 6 kul białych i n kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe . Liczba kul czarnych jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż 2017?

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Prosta l jest nachylona do osi Ox pod kątem 30° i przecina oś Oy w punkcie (0, -√3) (zobacz rysunek).

Prosta l ma równanie

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Prosta k przechodzi przez punkt A=(4, -4) i jest prostopadła do osi Ox. Prosta k ma równanie

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Graniastosłup ma 14 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD.

Kąt nachylenia krawędzi bocznej SA ostrosłupa do płaszczyzny podstawy ABCD to

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Punkty B=(-2, 4) i C=(5, 1) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole jest równe 6√3. Bok tego trójkąta ma długość

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AC. Odcinek DE jest równoległy do boku AB, a ponadto |AE|=|DE|=4, |AB|=6 (zobacz rysunek).

Odcinek CE ma długość

Powiększ tablicę Ukryj tablicę