Autor: Paweł

Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o 10% większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o 10% mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o 12 minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek?

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dany jest stożek o objętości 8π, w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy 3:8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, w którym a₁+a₂+a₃+a₄=2016 oraz a₅+a₆+a₇+...+a₁₂=2016. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (a_n)

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W trójkącie ABC dane są długości boków |AB|=15 i |AC|=12 oraz , gdzie α=∢BAC. Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że |BD|=2|AD| i |AE|=2|CE| (zobacz rysunek).

Oblicz pole

a) trójkąta ADE.

b) czworokąta BCED.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna kąta ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz rysunek).

Wykaż, że w czworokącie CDEF sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność

x⁴+y⁴+x²+y²≥2(x³+y³)

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dane są proste o równaniach y=x+2 oraz y=-3x+b, które przecinają się w punkcie leżącym na osi Oy układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi Ox.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Rozwiąż równanie , gdzie x≠-1 i x≠0.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Punkty D i E są środkami przyprostokątnych AC i BC trójkąta prostokątnego ABC. Punkty F i G leżą na przeciwprostokątnej AB tak, że odcinki DF i EG są do niej prostopadłe (zobacz rysunek). Pole trójkąta BGE jest równe 1, a pole trójkąta AFD jest równe 4.

Zatem pole trójkąta ABC jest równe

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dane są dwie sumy algebraiczne 3x³-2x oraz -3x²-2. Iloczyn tych sum jest równy

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe k i l o równaniach y=ax+b oraz y=mx+n. Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi.

Zatem

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Średnia arytmetyczna czterech liczb: x-1, 3x, 5x+1 i 7x jest równa 72. Wynika stąd, że

Powiększ tablicę Ukryj tablicę