Kategoria: Poziom podstawowy – maj 2025

Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź BC ma długość 4 oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka B jest równa 15 (zobacz rysunek).

Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB.

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej 24 uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ………… .

2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ………… .… .

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: 1, 2, 3, 4, 5, x, y jest równa 3.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma x+y jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Zdarzenie A polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa 11.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Objętość sześcianu jest równa 729.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Tworząca stożka ma długość 8. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 120°.

Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkt P=(0,0) leży na okręgu O o środku w punkcie S=(2,4).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg O jest określony równaniem

A. (x-2)²+(y-4)²=2√5

B. (x-2)²+(y-4)²=20

C. (x+2)²+(y+4)²=2√5

D. (x+2)²+(y+4)²=20

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są określone równaniami

k: y=(m-2)x+5

l: y=-4x+(m+3)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste k oraz l są równoległe, gdy liczba m jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest kwadrat ABCD, w którym A=(4,−1). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie S=(1,3).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Przekątna kwadratu ABCD ma długość

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=11, |BC|=12 oraz |∡ABC|=60° (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W trójkącie równoramiennym ABC dane są: |AC|=|BC|=4 i |AB|=3. Na boku BC, między punktami B i C, wybrano taki punkt D, że trójkąty ABC i BDA są podobne (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek BD ma długość

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie D. Miara kąta BCA jest równa 50° (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego ABO jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok BC jest przeciwprostokątną, przyprostokątna AB ma długość 6, a środkowa CD ma długość 5. Oznaczmy kąt ADC przez α, natomiast kąt ABC – przez β (zobacz rysunek).

Kąt α jest ostry i spełnia warunek $\sqrt{3} \operatorname{tg} \alpha = 2 \sin \alpha$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta α jest równy

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, w którym a₁=27 oraz a₂=9.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Czwarty wyraz ciągu (a_n) jest równy

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Wyznacz wartość m, dla której trzywyrazowy ciąg

(2m+11, m²+3, 5-m)

jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Ciąg (a_n) jest określony następująco:

$\begin{cases} a_1 = 2 \\ a_{n+1} = 2a_n + 1 \end{cases}$dla każdej liczby naturalnej n≥1

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=(3-m)x-4.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja f nie ma miejsca zerowego dla m równego

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (3,6). Ta parabola przecina oś 0y w punkcie o współrzędnych (0,3).