Podstawa programowa IV etap edukacyjny

ZAKRES ROZSZERZONY

I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik.

Ponadto: Uczeń używa języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników.

II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.

Uczeń używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.

Ponadto: Uczeń rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi.

III. Modelowanie matematyczne.

Uczeń dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu.

Ponadto: Uczeń buduje model matematyczny danej sytuacji, uwzględniając ograniczenia i zastrzeżenia.

IV. Użycie i tworzenie strategii.

Uczeń stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania.

Ponadto: Uczeń tworzy strategię rozwiązania problemu.

V. Rozumowanie i argumentacja.

Uczeń prowadzi proste rozumowanie, składające się z niewielkiej liczby kroków.

Ponadto: Uczeń tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność.

ZAKRES ROZSZERZONY

1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg);

2) oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych);

3) posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach;

4) oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych;

5) wykorzystuje podstawowe własności potęg (również w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy, np. fizyką, chemią, informatyką);

6) wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym;

7) oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia;

8) posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;

9) wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok).

Ponadto: 1) wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną, zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą równań i nierówności typu: |x–a|=b, |x–a|<b, |x–a|≥b.

Ponadto: 2) stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

2. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń:

1) używa wzorów skróconego mnożenia na (a±b)² oraz a²–b².

Ponadto: 1) używa wzorów skróconego mnożenia na (a±b)³ oraz a³±b³;

Ponadto: 2) dzieli wielomiany przez dwumian ax+b;

Ponadto: 3) rozkłada wielomian na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia lub wyłączając wspólny czynnik przed nawias;

Ponadto: 4) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany;

Ponadto: 5) wyznacza dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego z jedną zmienną, w którym w mianowniku występują tylko wyrażenia dające się łatwo sprowadzić do iloczynu wielomianów liniowych i kwadratowych;

Ponadto: 6) dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne; rozszerza i (w łatwych przykładach) skraca wyrażenia wymierne

3. Równania i nierówności. Uczeń:

1) sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności;

2) wykorzystuje interpretację geometryczną układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi;

3) rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą;

4) rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą;

5) rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą;

6) korzysta z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu x³=–8;

7) korzysta z własności iloczynu przy rozw ią zywaniu równań typu x(x+1)(x–7)=0;

8) rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych, np.

Ponadto: 1) stosuje wzory Viète’a;

Ponadto: 2) rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem;

Ponadto: 3) rozwiązuje układy równań, prowadzące do równań kwadratowych;

Ponadto: 4) stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x–a;

Ponadto: 5) stosuje twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych;

Ponadto: 6) rozwiązuje równania wielomianowe dające się łatwo sprowadzić do równań kwadratowych;

Ponadto: 7) rozwiązuje łatwe nierówności wielomianowe;

Ponadto: 8) rozwiązuje proste nierówności wymierne typu:

Ponadto: 9) rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o poziomie trudności nie wyższym, niż:

||x+1|–2|=3, |x+3|+|x–5|>12

4. Funkcje. Uczeń:

1) określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego;

2) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu. Posługuje się poznanymi metodami rozwiązywania równań do obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość;

3) odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których funkcja maleje, rośnie, ma stały znak; punkty, w których funkcja przyjmuje w podanym prze dziale wartość największą lub najmniejszą);

4) na podstawie wykresu funkcji y=f(x) szkicuje wykresy funkcji y=f(x+a), y=f(x)+a, y=–f(x), y=f(–x);

5) rysuje wykres funkcji liniowej, korzystając z jej wzoru;

6) wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie;

7) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;

8) szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru;

9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;

10) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje);

11) wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;

12) wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym);

13) szkicuje wykres funkcji f(x) = a/x dla danego a, korzysta ze wzoru i wykresu tej funkcji do interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi;

14) szkicuje wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw;

15) posługuje się funkcjami wykładniczymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym.

Ponadto: 1) na podstawie wykresu funkcji y=f(x) szkicuje wykresy funkcji y=|f(x)|, y=c·f(x), y=f(cx);

Ponadto: 2) szkicuje wykresy funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw;

Ponadto: 3) posługuje się funkcjami logarytmicznymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym;

Ponadto: 4) szkicuje wykres funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami; odczytuje własności takiej funkcji z wykresu.

5. Ciągi. Uczeń

1) wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;

2) bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;

3) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;

4) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

Ponadto: 1) wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem rekurencyjnym;

Ponadto: 2) oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu 1/n, 1/n2 oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów;

Ponadto: 3) rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy

6. Trygonometria. Uczeń:

1) wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0° do 180°;

2) korzysta z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (odczytanych z tablic lub obliczonych za pomocą kalkulatora);

3) oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną albo – korzystając z tablic lub kalkulatora – przybliżoną);

4) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi:

oraz

5) znając wartość jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego.

Ponadto: 1) stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i od wrotnie;

Ponadto: 2) wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyrażonej w stopniach lub radianach (przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego);

Ponadto: 3) wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych;

Ponadto: 4) posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych (np. gdy rozwiązuje nierówności typu sin x>a, cos x≤a, tg x>a);

Ponadto: 5) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów;

Ponadto: 6) rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu sin2x=½, sin2x+cosx=1, sinx+cosx=1, cos2x<½.

7. Planimetria. Uczeń:

1) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym;

2) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych;

3) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów;

4) korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi.

Ponadto: 1) stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu;

Ponadto: 2) stosuje twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa do obliczania długości odcinków i ustalania równoległości prostych;

Ponadto: 3) znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych w jednokładności (odcinka, trójkąta, czworokąta itp.);

Ponadto: 4) rozpoznaje figury podobne i jednokładne; wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności;

Ponadto: 5) znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.

8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń:

1) wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej);

2) bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych;

3) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt;

4) oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych;

5) wyznacza współrzędne środka odcinka;

6) oblicza odległość dwóch punktów;

7) znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych i symetrii środkowej względem początku układu.

Ponadto: 1) interpretuje graficznie nierówność liniową z dwiema niewiadomymi oraz układy takich nierówności;

Ponadto: 2) bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań ogólnych;

Ponadto: 3) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci ogólnej i przechodzi przez dany punkt;

Ponadto: 4) oblicza odległość punktu od prostej;

Ponadto: 5) posługuje się równaniem okręgu (x–a)²+(y–b)²=r² oraz opisuje koła za pomocą nierówności;

Ponadto: 6) wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu;

Ponadto: 7) oblicza współrzędne oraz długość wektora; dodaje i odejmuje wektory oraz mnoży je przez liczbę. Interpretuje geometrycznie działania na wektorach;

Ponadto: 8) stosuje wektory do opisu przesunięcia wykresu funkcji.

9. Stereometria. Uczeń:

1) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi, itp.), oblicza miary tych kątów;

2) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów;

3) rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;

4) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami;

5) określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;

6) stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości.

Ponadto: 1) określa, jaką figurą jest dany przekrój sfery płaszczyzną;

Ponadto: 2) określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną.

10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Uczeń:

1) oblicza średnią ważoną i odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje te parametry dla danych empirycznych;

2) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania;

3) oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa.

Ponadto: 1) wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych;

Ponadto: 2) oblicza prawdopodobieństwo warunkowe;

Ponadto: 3) korzysta z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.

11. Rachunek różniczkowy. Uczeń:

Ponadto: 1) oblicza granice funkcji (i granice jednostronne), korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach i z własności funkcji ciągłych;

Ponadto: 2) oblicza pochodne funkcji wymiernych;

Ponadto: 3) korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej;

Ponadto: 4) korzysta z własności pochodnej do wyznaczenia przedziałów monotoniczności funkcji;

Ponadto: 5) znajduje ekstrema funkcji wielomianowych i wymiernych;

Ponadto: 6) stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.