Kategoria: Poziom Podstawowy – sierpień 2022

Dany jest graniastosłup prosty ABCDEFGH, którego podstawą jest prostokąt ABCD. W tym graniastosłupie |BD|=15, a ponadto |CD|=3+|BC| oraz |∡CDG| = 60° (zobacz rysunek). Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Ze zbioru pięciu liczb {−5, −4, 1, 2, 3} losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie A polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 24. Punkt E leży na boku AB, a punkt F – na boku BC tego trójkąta. Odcinek EF jest równoległy do boku AC i przechodzi przez środek S wysokości CD trójkąta ABC (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka EF.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Rozwiąż równanie

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0 i każdej liczby rzeczywistej b różnej od 0 spełniona jest nierówność

2a²-4ab+5b²>0

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Trójwyrazowy ciąg (x, y−4, y) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 6. Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Rozwiąż nierówność

3x²-8x≥3

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego do sześciu. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez 3. Wtedy

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od 300 o wszystkich cyfrach parzystych jest

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Średnia arytmetyczna zestawu liczb a, b, c, d jest równa 20. Wtedy średnia arytmetyczna zestawu liczb a−10, b+30, c, d jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W graniastosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich ścian jest równy 7∶3. Podstawą tego graniastosłupa jest

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Obrazem prostej o równaniu y=2x+5 w symetrii osiowej względem osi Ox jest prosta o równaniu

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Punkty A=(−6, 5), B=(5, 7), C=(10, −3) są wierzchołkami równoległoboku ABC. Długość przekątnej BD tego równoległoboku jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Punkty A=(1, −3) oraz C=(−2, 4) są końcami przekątnej AC rombu ABCD. Środek przekątnej BD tego rombu ma współrzędne

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Proste o równaniach oraz y=(2m-1)x+1 są prostopadłe, gdy

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Pole prostokąta jest równe 16, a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem ostrym α, takim, że sin α=0,2. Długość przekątnej tego prostokąta jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Punkty A oraz B leżą na okręgu o środku S. Kąt środkowy ASB ma miarę 100°. Prosta l jest styczna do tego okręgu w punkcie A i tworzy z cięciwą AB okręgu kąt o mierze α (zobacz rysunek).

Wtedy

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Wierzchołki A, B, C czworokąta ABSC leżą na okręgu o środku S. Kąt ABS ma miarę 40° (zobacz rysunek), a przekątna BC jest dwusieczną tego kąta.

Miara kąta ASC jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Nie istnieje kąt ostry α taki, że

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 6, a przeciwprostokątna AB ma długość 3√5. Wtedy tangens kąta ostrego CAB tego trójkąta jest równy

Powiększ tablicę Ukryj tablicę