Zadanie często występujące na konkursach matematycznych. Rozważmy następujący przykład
22023
Zastanówmy się; jak wyglądają cyfry jedności przy podnoszeniu 2-ki do potęg naturalnych:
| działanie: | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | ... |
| wynik | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | ... |
Spójrzmy na cyfry jedności:
| działanie: | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | ... |
| cyfra jedności | 2 | 4 | 8 | 6 | 2 | 4 | 8 | 6 | ... |
Zauważ, że pojawia się nam zależność, że co czwarta potęga ma tą samą cyfrę jedności. Można zauważyć jeszcze, że dla wykładnika podzielnego na 4 cyfra jedności jest równa 6. Znajdźmy najbliższą liczbę w sąsiedztwie 2023 podzielną na 4. Jest nią 2024. Korzystając z wyznaczonej cykliczności cyfr jedności otrzymujemy:
| działanie: | ... | 22024 | ... |
| cyfra jedności | ... | 6 | ... |
| działanie: | ... | 22023 | 22024 | ... |
| cyfra jedności | ... | 8 | 6 | ... |
Udało nam się ustalić, że cyfra jedności liczby 22023 jest równa 8. A tak z ciekawości, zobacz, ile liczenia zaoszczędziliśmy. Liczba 22023 jest równa:
963121833542317369601573845406471251262548645428284526828835768327851746644612875378048462019053502788803516653832734212104068969204751285764221918179043624419894139984279754512017898273159626328827668380262481220865017731267802600915375183179264380651165421367773563947903391466768557089792263481734108493385146063258300495764165365295546337808852673629710735621386935094923561594142327134318905856137785813985574356271679918694447015294481691849341917432346559501502683303082591585074576786963085039546446281095048723669230856548339087909922753762884060607659880382812905450025751549153093939827557015748608
Podobnie możemy działać z potęgami liczb wielocyfrowych, np. 242022. Jednak wtedy, aby nie sprawić sobie zbyt dużo kłopotów, lepiej skupić się tylko na cyfrze jedności podnoszonej do potęgi: Jednocześnie zapisujmy sobie już tylko cyfry jedności. Możemy to robić następująca - mnożymy poprzednią cyfrę jedności przez 4
| działanie: | _41 | _42 | _43 | _44 | ... |
| cyfry jedności | 4 | 4·4=_6 | _6·4=_4 | _4·4=_6 | ... |
Tu warto zauważyć, że cykliczne powtarzają się 4 i 6 na cyfrach jedności. Dodatkowo widać, że gdy mamy do czynienia z parzystym wykładnikiem, to wynik potęgowania kończy się na cyfrę 6, stąd ponieważ 2022 jest parzyste to wszystkie liczby postaci _42022 kończą się na 6, w tym rozważana liczba 242022