2. Wyrażenia algebraiczne, R2.1) używa wzorów skróconego mnożenia na (a±b)3 oraz a3±b3

Wzory skróconego mnożenia i pierwiastki (poziom rozszerzony)

By Paweł 29 marca, 2022 29 marca, 2022

Sprowadź wyrażenie:

$\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}$

dla $x=(-7, -2, 2, 7)$ i $x^2-y=-1$ do prostszej postaci.

Podnieśmy w pierwszej kolejności wyrażenie do sześcianu:

$(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})^3$

Podnosząc do sześcianu skorzystajmy z wzoru skróconego mnożenia:

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Dla naszego wyrażenia otrzymamy:

$(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})^3=\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}^3+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}^2\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}+$

$+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}^2+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}^3=$

Podnieśmy pierwiastki do sześcianu:

$=x+\sqrt{y}+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}^2\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}+$

$+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}^2+x-\sqrt{y}=$

$=2x+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}^2\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}^2=$

Wyciągnijmy przed nawias $3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}$

$=2x+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})=$

Iloczyn pierwiastków zapiszmy jako pierwiastek z iloczynu:

$=2x+3\sqrt[3]{(x+\sqrt{y})(x-\sqrt{y})}(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})=$

Wewnątrz pierwiastka $\sqrt[3]{(x+\sqrt{y})(x-\sqrt{y})}$ mamy wzór skróconego mnożenia:

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

$=2x+3\sqrt[3]{x^2-y}(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})=$

Z założenia zadania wiemy $x^2-y=-1$ , stąd:

$=2x+3\sqrt[3]{-1}(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})=$

$=2x-3(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})$

Zauważmy, że wyrażenie w nawiasie to wyrażenie z treści zadania, stąd:

$(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})^3=2x-3(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})$

Skorzystajmy z zmiennej tymczasowej:

$t=\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}$

Stąd mamy:

$t^3=2x-3t$

Przenieśmy wszystkie wyrazy na jedną stronę:

$t^3+3t-2x=0$

Podstawmy pod x poszczególne wartości:

$x=-7$

$t=\sqrt[3]{-7+\sqrt{50}}+\sqrt[3]{-7-\sqrt{50}}$

Sprowadzono do:

$w(t)=t^3+3t+14=0$

Z otrzymanego wielomianu obliczamy pierwiastki. Szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego.

$w(1)=1^3+3\cdot 1+14=18\neq 0$

$w(-1)=(-1)^3+3\cdot (-1)+14=10\neq 0$

$w(2)=2^3+3\cdot 2+14=28\neq 0$

$w(-2)=(-2)^3+3\cdot (-2)+14=0$

$t=-2$

Wyrażenie z założenia zadania jest równe -2.

$x=-2$

$t=\sqrt[3]{-2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{-2-\sqrt{5}}$

Sprowadzono do:

$w(t)=t^3+3t+4=0$

Z otrzymanego wielomianu obliczamy pierwiastki. Szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego.

$w(1)=1^3+3\cdot 1+4\neq0$

$w(-1)=(-1)^3+3\cdot (-1)+4=0$

$t=-1$

Wyrażenie z założenia zadania jest równe -1.

$x=7$

$t=\sqrt[3]{7+\sqrt{50}}+\sqrt[3]{7-\sqrt{50}}$

Sprowadzono do:

$w(t)=t^3+3t-14=0$

Z otrzymanego wielomianu obliczamy pierwiastki. Szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego.

$w(1)=1^3+3\cdot 1-14=-10\neq 0$

$w(-1)=(-1)^3+3\cdot (-1)-14=-18\neq 0$

$w(2)=2^3+3\cdot 2-14=0$

$t=2$

Wyrażenie z założenia zadania jest równe 2.

$x=2$

$t=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$

Sprowadzono do:

$w(t)=t^3+3t-4=0$

Z otrzymanego wielomianu obliczamy pierwiastki. Szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego.

$w(1)=1^3+3\cdot 1-4\neq0$

$t=1$

Wyrażenie z założenia zadania jest równe 1.

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi