W skrócie o kombinatoryce

Zestawmy zagadnienia z kombinatoryki:

	Czy kolejność jest istotna?	Czy wykorzystujemy wszystkie elementy?	Czy elementy zbioru są różne?	Wzór
Permutacja	TAK	TAK		P=n!
Wariacja z powtórzeniami	TAK	NIE	NIE	$W_n^k=n^k$
Wariacja bez powtórzeń	TAK	NIE	TAK	$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$
Kombinacja	NIE	NIEKONIECZNIE		$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Ćwiczenie 1. Udowodnij, że gdy w wariacji bez powtórzeń k=n (wykorzystamy do utworzenia ciągu wszystkie elementy) to wariacja sprowadza się do permutacji.

Analiza:

Skorzystajmy z wzoru na wariację bez powtórzeń:

$V_n^n=\frac{n!}{(n-k)!}$

Z założenia zadania k=n, to wzór sprowadza się:

$V_n^n=\frac{n!}{(n-n)!}$

$V_n^n=\frac{n!}{1!}$

$V_n^n=\frac{n!}{1}$

V_nⁿ=n!=P

Otrzymaliśmy wzór opisujący permutację.

Ćwiczenie 2. Na ile różnych sposobów możemy wylosować wszystkie elementów ze zbioru n elementowego, gdy kolejność wylosowanych elementów nie ma znaczenia?

Analiza:

Kolejność, nie jest istotna, stąd możemy skorzystać z:

$C=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Z założenia zadania k=n, czyli:

$C=\frac{n!}{n!(n-n)!}$

$C=\frac{n!}{n!\cdot1!}$

$C=\frac{n!}{n!}$

C=1

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi