Rozwiązując kolejne zadanie z statystyki opisowej z matury pomyślałem, że wielu z Was sceptycznie może podchodzić do zagadnienia prawdopodobieństwa.
Aby sprawdzić, czy to prawdopodobieństwo wyrzucenia orła przy rzucie monetą wynosi P=1/2, lub czy prawdopodobieństwo otrzymania szóstki w rzucie kostką jest równe P=1/6 postanowiłem przygotować niewielkie narzędzie do testów. Zainteresowany/a? to przejdź do dalszej części artykułu.
Aby wprowadzić element losowości (a właściwie pseudo losowości w związku z charakterem liczb losowych generowanych przez elektronikę) będę prosić Ciebie drogi użytkowniku o wykonie kilku czynności. Ale spokojnie, gdy trzeba będzie wykonać 100 losowań to trzeba będzie tylko raz uruchomić skrypt. 🙂
Przeanalizujmy na wstępie rzuty monetą. Zdarzenia te są niezależne i spodziewamy się prawdopodobieństwa wylosowania orła równego P=1/2 niezależnie od ilości rzutów, ponieważ mamy dwie strony monety i w każdym rzucie wylosujemy albo orła albo reszkę.
Po jednym rzucie nie jesteśmy w stanie doświadczalnie stwierdzić, jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania orła. Jak klikniesz przycisk Losuj 1 raz kilka razy, też ciężko Ci będzie doświadczalnie ustalić prawdopodobieństwo. Tym bardziej, że jeżeli będziesz miał/a pecha to klika razy z rzędu wylosujesz orła. Taka sytuacja zamiast nam udowodnić, że prawdopodobieństwo jest równe 0,5 bardziej nas oddala od tego wyniku.
Ja w kilku rzutach otrzymałem następujące wyniki:
| Rzut | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| wynik | R | R | O | R | R | O | R | R | R | O |
Ooo!!! Na 10 rzutów tylko 3 orły. Nadal jesteśmy daleko: 3/10 to nie 1/2.
To popróbujmy dalej...
Sprawdźmy 20 rzutów. Ale, żeby się nie zaklikać uruchom skrypt poniżej:
Wykonałem 10 serii po 20 rzutów. Otrzymane wyniki:
| Seria (po 20 rzutów) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Liczba orłów | 10 | 12 | 10 | 10 | 11 | 14 | 11 | 5 | 8 | 11 |
Teraz, poza dwoma najbardziej skrajnymi wynikami widzimy, że zbliżamy się do spodziewanego wyniku.
Średnia tych 10 rzutów wynosi:
Średnio losujemy 10,2 orła na 20 rzutów, co daje nam prawdopodobieństwo zbliżone do 0.5.
Tak jeszcze na zakończenie:
A co gdy wykonamy 1000 rzutów?
Wylosowano: 0 orłów
W tej ilości rzutów otrzymałem w 10 seriach następujące wyniki:
| Seria (po 1000 rzutów) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Liczba orłów | 492 | 491 | 522 | 504 | 508 | 489 | 492 | 515 | 508 | 510 |
Policzmy średnią:
Średnio liczba orłów w 1000 rzutach wynosi 503,1. Prawdopodobieństwo coraz bardziej zbliża się do 1/2.
Podsumowując:
| Ilość prób | 10 prób | 10 serii po 20 rzutów | 10 serii po 1000 rzutów |
| średnia ilość orłów | 3 | 10,2 | 503,1 |
| prawdopodobieństwo P(A) | 3/10 | 10,2/20=0,51 | 503,1/1000=0,5031 |
Obserwowanym zjawiskiem był rzut monetą, spodziewanym wynikiem - wylosowanie orła. Im bardzie zwiększaliśmy ilość rzutów, tym bardziej prawdopodobieństwo zbliżało się do oczekiwanego P(A)=1/2.
Dlatego pamiętaj!!!
Im dokładniej chcesz ustalić prawdopodobieństwo, tym więcej obserwacji/eksperymentów wykonaj!!!
c.d.n.