Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika

Jednym z częstych powodów, dla których w zadaniach zamkniętych na maturze Twój obliczony prawidłowo wynik nie zgadza się z żadnym wynikiem podanym w odpowiedziach jest fakt, że pewnie nie dokończyłeś/aś obliczeń. Takim przypadkiem jest sytuacja, gdy w mianowniku ułamka w Twoim wyniki pojawia się pierwiastek.

Aby doprowadzić obliczenia do końca należy zrobić wszystko (oczywiście na co zezwala formalizm matematyczny), aby pozbyć się tego pierwiastka z mianownika.

W artykule poruszę usuwanie pierwiastków kwadratowych z mianowników pierwiastków.

Przyjrzyjmy się przykładowi:



W mianowniku mamy pierwiastek. Aby go stamtąd usunąć możemy wymnożyć cały ułamek przez 1. Tak! Dobrze widzisz - przez 1. Takie działanie nie spowoduje zmiany wartości naszego ułamka, a pozwoli zastosować sprytną sztuczkę:

Zapiszmy naszą jedynkę jako ułamek, który w liczniku i mianowniku ma naszą niewymierność:

Zobacz teraz, co stanie się w mianowniku po wymnożeniu obu ułamków

W ten sposób pozbyliśmy się tego pierwiastka z mianownika.


Identycznie postępujemy w przypadku zmiennej:


Pięknie. A co zrobić, gdy w mianowniku jest suma albo różnica, a jeden lub oba wyrazy są niewymierne? Popatrzmy na przykład:

Tutaj zwykłe wymnożenie przez jedynkę utworzoną z pojedynczego pierwiastka nie pomoże. Przelicz sobie i zobacz, czy korzystając z tej metody zniknie z mianownika:

Jeżeli przeliczyłeś to, pewnie zauważyłeś, że otrzymaliśmy:

Nie tędy droga. Pierwiastek pozostał w mianowniku. Lepiej byłoby znaleźć jakiś sposób, by oba wyrazy sumy lub różnicy podnoszone były do kwadratu. Tu z pomocą przychodzą wzory skróconego mnożenia, a w szczególności jeden "wynalazek":

Teraz zostaje Ci już tylko skonstruowanie odpowiedniej jedynki. Dla sumy w naszym mianowniku (jak w naszym przykładzie) w jedynce musi być różnica:

Super! Zrobione.


Dla różnicy w mianowniku naszego ułamka - jedynkę budujemy z sumy (patrz przykład poniżej:



Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

10 + = 15