Definicja:
Ciąg arytmetyczny {an} to ciąg wyrazów, dla których różnica między dowolnym wyrazem an a wyrazem go poprzedzającym an-1 jest stała.
Różnicę taką oznaczamy jako r.
r = an+1 - an
To n występujące w definicji to nic innego jak pozycja wyrazu w ciągu. Ciąg taki przedstawić można:
{an, an+1,an+2, ...}.
Gdy n = 1 to wyrazy możemy zapisać w poniższy sposób:
{a1, a2, a3, ...}.
Dwa parametry są w stanie opisać nam dowolny ciąg arytmetyczny:
- wartość dowolnego wyrazu ciągu,
- wartość różnicy ciągu.
Posiadając wiedzę na temat tych dwóch elementów możemy z definicji wyznaczyć każdy dowolny wyraz tego ciągu (wyraz leżący na n-tej pozycji w ciągu względem znanego już nam wyrazu). Dla uproszczenia bardzo często podawany jest pierwszy wyraz a1 (dla n=1).
Wiedząc, że:
a2 = a1 + r (dla n = 2 różnica między kolejnymi wyrazami ciągu wynosi 1 r),
a3 = a1 + r + r = a1 + 2r (dla n = 3 różnica między pierwszym i trzecim wyrazem ciągu wynosi 2 r).
to:
an = a1 + (n-1)r (dla dowolnego n różnica między pierwszym i n-tym wyrazem ciągu wynosi (n-1) r).
Wyraz an można przeczytać jako n-ty wyraz ciągu. (analogicznie do np. a4 , który czytamy jako czwar-ty wyraz ciągu).
Przykład:
- Ciąg {1,2,3,4,5,6,7} jest ciągiem arytmetycznym, którego wyraz
a1 = 1,
r = a2 - a1 = 2 - 1 = 1.
- Trzech synów matka miała (prod. Canal+.1997-1998 Serial 13 posterunek - odcinek 17 "Konkurs" - wyk. Cezary Pazura). Załóżmy, że rodzili się co 3 lata. Jeżeli najstarszy ma 28 lat, drugi z kolei ma 25, a najmłodszy 22. Także jest to ciąg arytmetyczny {28, 25, 22}. Tym razem r < 0 i wynosi -3.
Dobrze. Koniec przynudzania. Przejdźmy zatem do zadań.
Ciąg arytmetyczny
Zadanie 1: Ciąg arytmetyczny
Napisz następne wyrazy ciągu arytmetycznego:
Zadanie 2: Ciąg arytmetyczny
Wyznacz n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, znając dwa wyrazy tego ciągu:
Zadanie 3: Ciąg arytmetyczny
Sprawdź, czy 3 liczby w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.