Brak kategorii

Gdy nie pamiętam wzoru - wzory Viete'a

By Paweł 25 stycznia, 2021 25 stycznia, 2021

Czas na nowy "odcinek" z cyklu: gdy nie pamiętam wzoru. Tym razem materiał przygotowany w wersji na YT:

Wzory Viete'a dotyczą sumy i iloczynu pierwiastków równania kwadratowego. Pozwalają one powiązać wyniki tych działań z współczynnikami z równania kwadratowego. Zacznijmy więc od przypomnienia, jak zapisane są rozwiązania równania kwadratowego uzależnione od współczynników równania ax²+bx+c=0:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

gdzie Δ=b²-4ac. Ponieważ potrzebujemy dwa rozwiązania to musimy określić warunki: Δ>0, oraz a≠0 .

Obliczmy sumę pierwiastków:

$x_1+x_2=$

Podstawmy pod x₁ i x₂ odpowiadające im wyrażenia:

$=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=$

Dodajmy ułamki:

$=\frac{-b-\sqrt{\Delta}-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=$

$=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$

Otrzymaliśmy pierwszy wzór:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

Wyznaczmy teraz równanie na iloczyn dwóch pierwiastków:

$x_1\cdot x_2=$

Podstawmy ponownie wyrażenia na oba pierwiastki:

$=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\cdot \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=$

Wykonajmy mnożenie:

$=\frac{(-b-\sqrt{\Delta})\cdot (-b+\sqrt{\Delta})}{2a\cdot 2a}=$

Zauważ, że w liczniku mamy wzór skróconego mnożenia (t-s)(t+s)=t²-s² , gdzie t=-b i $s=\sqrt{\Delta}$

$=\frac{(-b)^2-(\sqrt{\Delta})^2}{4a^2}=$

$=\frac{b^2-\Delta}{4a^2}=$

Podstawmy wyrażenie na deltę:

$=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=$

$=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=$

$=\frac{4ac}{4a^2}=$

Skróćmy co możemy:

$=\frac{c}{a}$

Otrzymaliśmy drugie równanie Viete'a na iloczyn:

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi