Zadanie:
Oblicz maksymalne pole prostokąta, którego obwód wynosi .
Analiza:
Zadanie sprowadza się do wyznaczenia wzoru na pole prostokąta, w którym zastosujemy tylko jedną zmienną, po której będziemy wyznaczać maksimum.
To do dzieła!
Znamy obwód prostokąta. Wynosi on 16:
Ob = 2a + 2b
16 = 2a + 2b
Pole prostokąta zapiszemy jako:
P = a · b
W tym miejscu zróbmy założenia:
a > 0
b > 0
Korzystając z równania na obwód, wyraźmy pole jako równanie jednej zmiennej:
16 = 2a + 2b
2b = 16 - 2a /:2
b = 8 - a
Stąd pole:
P = a·(8 - a)
P = 8a - a2
Aby wyznaczyć maksimum musimy wyliczyć pochodną P po zmiennej a:
P' = 8 - 2a
Przyrównajmy do zera:
P' = 8 - 2a = 0
8 - 2a = 0
-2a = -8 /:-2
a = 4
Sprawdźmy, czy wyznaczone ekstremum jest szukanym maksimum:
dla a < 4 wartości pochodnej są dodatnie;
dla a > 4 wartości pochodnej są ujemne;
Stąd wiemy, że a = 4 to maksimum.
Wyznaczmy b z obwodu:
16 = 2·4 + 2b
16 = 8 + 2b
2b = 16 - 8
2b = 8
b = 4
Stąd maksymalne pole dla obwodu równego 16 wynosi:
P = 4 · 4 = 16
Zauważ, że otrzymana figura jest kwadratem. Zobacz animację poniżej. Do analizy przygotowałem animację dla rodziny prostokątów o obwodzie 16. Zobacz, jaka relacja między długością jednego boku prostokąta, a polem.
