Sprowadź wyrażenie:
![\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B%5Csqrt%7By%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-%5Csqrt%7By%7D%7D&bg=FFFFFF&fg=00000&s=0 "\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}")
dla
Podnieśmy w pierwszej kolejności wyrażenie do sześcianu:
![(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})^3](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B%5Csqrt%7By%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-%5Csqrt%7By%7D%7D%29%5E3&bg=FFFFFF&fg=00000&s=0 "(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})^3")
Podnosząc do sześcianu skorzystajmy z wzoru skróconego mnożenia:
Dla naszego wyrażenia otrzymamy:
![(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})^3=\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}^3+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}^2\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}+](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B%5Csqrt%7By%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-%5Csqrt%7By%7D%7D%29%5E3%3D%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B%5Csqrt%7By%7D%7D%5E3%2B3%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B%5Csqrt%7By%7D%7D%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-%5Csqrt%7By%7D%7D%2B&bg=FFFFFF&fg=00000&s=0 "(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})^3=\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}^3+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}^2\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}+")
![+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}^2+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}^3=](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%2B3%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B%5Csqrt%7By%7D%7D%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-%5Csqrt%7By%7D%7D%5E2%2B%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-%5Csqrt%7By%7D%7D%5E3%3D&bg=FFFFFF&fg=00000&s=0 "+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}^2+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}^3=")
Podnieśmy pierwiastki do sześcianu:
![=x+\sqrt{y}+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}^2\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}+](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%3Dx%2B%5Csqrt%7By%7D%2B3%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B%5Csqrt%7By%7D%7D%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-%5Csqrt%7By%7D%7D%2B&bg=FFFFFF&fg=00000&s=0 "=x+\sqrt{y}+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}^2\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}+")
![+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}^2+x-\sqrt{y}=](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%2B3%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B%5Csqrt%7By%7D%7D%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-%5Csqrt%7By%7D%7D%5E2%2Bx-%5Csqrt%7By%7D%3D&bg=FFFFFF&fg=00000&s=0 "+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}^2+x-\sqrt{y}=")
![=2x+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}^2\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}^2=](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%3D2x%2B3%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B%5Csqrt%7By%7D%7D%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-%5Csqrt%7By%7D%7D%2B3%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B%5Csqrt%7By%7D%7D%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-%5Csqrt%7By%7D%7D%5E2%3D&bg=FFFFFF&fg=00000&s=0 "=2x+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}^2\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}^2=")
Wyciągnijmy przed nawias
![3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=3%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B%5Csqrt%7By%7D%7D%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-%5Csqrt%7By%7D%7D&bg=FFFFFF&fg=00000&s=0 "3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}")
![=2x+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})=](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%3D2x%2B3%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B%5Csqrt%7By%7D%7D%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-%5Csqrt%7By%7D%7D%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B%5Csqrt%7By%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-%5Csqrt%7By%7D%7D%29%3D&bg=FFFFFF&fg=00000&s=0 "=2x+3\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})=")
Iloczyn pierwiastków zapiszmy jako pierwiastek z iloczynu:
![=2x+3\sqrt[3]{(x+\sqrt{y})(x-\sqrt{y})}(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})=](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%3D2x%2B3%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x%2B%5Csqrt%7By%7D%29%28x-%5Csqrt%7By%7D%29%7D%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B%5Csqrt%7By%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-%5Csqrt%7By%7D%7D%29%3D&bg=FFFFFF&fg=00000&s=0 "=2x+3\sqrt[3]{(x+\sqrt{y})(x-\sqrt{y})}(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})=")
Wewnątrz pierwiastka
![\sqrt[3]{(x+\sqrt{y})(x-\sqrt{y})}](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x%2B%5Csqrt%7By%7D%29%28x-%5Csqrt%7By%7D%29%7D&bg=FFFFFF&fg=00000&s=0 "\sqrt[3]{(x+\sqrt{y})(x-\sqrt{y})}")
![=2x+3\sqrt[3]{x^2-y}(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})=](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%3D2x%2B3%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%5E2-y%7D%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B%5Csqrt%7By%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-%5Csqrt%7By%7D%7D%29%3D&bg=FFFFFF&fg=00000&s=0 "=2x+3\sqrt[3]{x^2-y}(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})=")
Z założenia zadania wiemy
![=2x+3\sqrt[3]{-1}(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})=](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%3D2x%2B3%5Csqrt%5B3%5D%7B-1%7D%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B%5Csqrt%7By%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-%5Csqrt%7By%7D%7D%29%3D&bg=FFFFFF&fg=00000&s=0 "=2x+3\sqrt[3]{-1}(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})=")
![=2x-3(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%3D2x-3%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B%5Csqrt%7By%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-%5Csqrt%7By%7D%7D%29&bg=FFFFFF&fg=00000&s=0 "=2x-3(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})")
Zauważmy, że wyrażenie w nawiasie to wyrażenie z treści zadania, stąd:
![(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})^3=2x-3(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B%5Csqrt%7By%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-%5Csqrt%7By%7D%7D%29%5E3%3D2x-3%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B%5Csqrt%7By%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-%5Csqrt%7By%7D%7D%29&bg=FFFFFF&fg=00000&s=0 "(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})^3=2x-3(\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}})")
Skorzystajmy z zmiennej tymczasowej:
![t=\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=t%3D%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B%5Csqrt%7By%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7Bx-%5Csqrt%7By%7D%7D&bg=FFFFFF&fg=00000&s=0 "t=\sqrt[3]{x+\sqrt{y}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{y}}")
Stąd mamy:
Przenieśmy wszystkie wyrazy na jedną stronę:
Podstawmy pod x poszczególne wartości:
![t=\sqrt[3]{-7+\sqrt{50}}+\sqrt[3]{-7-\sqrt{50}}](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=t%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-7%2B%5Csqrt%7B50%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-7-%5Csqrt%7B50%7D%7D&bg=FFFFFF&fg=00000&s=0 "t=\sqrt[3]{-7+\sqrt{50}}+\sqrt[3]{-7-\sqrt{50}}")
Sprowadzono do:
Z otrzymanego wielomianu obliczamy pierwiastki. Szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego.
Wyrażenie z założenia zadania jest równe -2.
![t=\sqrt[3]{-2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{-2-\sqrt{5}}](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=t%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-2%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-2-%5Csqrt%7B5%7D%7D&bg=FFFFFF&fg=00000&s=0 "t=\sqrt[3]{-2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{-2-\sqrt{5}}")
Sprowadzono do:
Z otrzymanego wielomianu obliczamy pierwiastki. Szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego.
Wyrażenie z założenia zadania jest równe -1.
![t=\sqrt[3]{7+\sqrt{50}}+\sqrt[3]{7-\sqrt{50}}](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=t%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B7%2B%5Csqrt%7B50%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B7-%5Csqrt%7B50%7D%7D&bg=FFFFFF&fg=00000&s=0 "t=\sqrt[3]{7+\sqrt{50}}+\sqrt[3]{7-\sqrt{50}}")
Sprowadzono do:
Z otrzymanego wielomianu obliczamy pierwiastki. Szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego.
Wyrażenie z założenia zadania jest równe 2.
![t=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=t%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B2%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B2-%5Csqrt%7B5%7D%7D&bg=FFFFFF&fg=00000&s=0 "t=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}")
Sprowadzono do:
Z otrzymanego wielomianu obliczamy pierwiastki. Szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego.
Wyrażenie z założenia zadania jest równe 1.