Wielokąt foremny to figura geometryczna, która posiada równe boki oraz równe kąty. Ze względu na tę ostatnią właściwość, mierzenie kątów w wielokącie foremnym jest stosunkowo łatwe, co pozwala na dokładne wyznaczanie ich wartości.
Aby wyznaczyć miarę kątów w wielokącie foremnym, warto najpierw zastanowić się, jak ten rodzaj figury geometrycznej jest definiowany. Wielokąt foremny to figura, która składa się z co najmniej trzech boków i kątów, a wszystkie boki i kąty są równe.
Sześciokąt foremny by oblicz.com.pl is licensed under a Creative Commons Uznanie autorstwa 4.0 Międzynarodowe License.
W oparciu o utwór dostępny pod adresem https://oblicz.com.pl
Wielokąt foremny może mieć różną liczbę boków - od trójkąta (który jest nazywany trójkątem równobocznym) do wielokąta o dowolnej liczbie boków zwanym czasem n-kątem foremnym. Najczęściej spotykanymi wielokątami foremnymi są jednak pięciokąt foremny (nazywany też pentagonem), sześciokąt foremny (nazywany heksagonem) oraz ośmiokąt foremny (nazywany oktagonem).
Wyprowadźmy wzór na kąt wewnętrzny wielokąta. Dla przykładu skorzystamy z ośmiokąta foremnego:
Poprowadźmy odcinki łączące środek wielokąta z wierzchołkami:
Zauważ, że odcinki te dzielą wielokąt na przystające trójkąty równoramienne:
Możemy policzyć, jaki jest kąt między ramionami trójkąta, dzieląc kąt pełny na tyle części, ile jest trójkątów. W naszym przykładzie:
α=360o:8=45o
Teraz korzystając z sumy kątów w trójkącie możemy wyznaczyć sumę kątów przy podstawie trójkąta:
180o-2α=180o-45o=135o
Kąt przy podstawie jest równy:
β=135o:2=67,5o
Wystarczy zauważyć, że kąty przy podstawach trójkątów są identyczne. Dzięki temu można wyznaczyć wartość kąta wewnętrznego wielokąta jako sumę dwóch kątów przy podstawie trójkąta.
Możemy zatem na podstawie tej analizy dla powyższego przypadku wyprowadzić wzór na kąt wewnętrzny dowolnego wielokąta foremnego:
gdzie n to liczba boków wielokąta.
Wzór ten można dalej przekształcić, doprowadzając do innej, często publikowanej postaci:
Stąd też otrzymujemy wzór na sumę kątów w wielokącie foremnym. Wystarczy nie wykonywać dzielenia przez ilość boków:
Dzięki temu wzorowi można łatwo obliczyć wartość pojedynczego kąta wewnętrznego w wielokącie foremnym, dzieląc sumę kątów przez liczbę boków. W pięciokącie foremnym każdy kąt wewnętrzny ma wartość 108o (540/5), w sześciokącie foremnym wartość ta wynosi 120o (720/6).
Kalkulator
Obliczamy kąt wewnętrzny 6-kąta foremnego:
β=180o-360o:n=180o-360o:6=180o-60o=120o
Popularne wielokąty
| Wielokąt foremny | Miara kąta |
|---|---|
| trójkąt równoboczny | 60° |
| kwadrat | 90° |
| pięciokąt foremny | 108° |
| sześciokąt foremny | 120° |
| ośmiokąt foremny | 135° |
| dziewięciokąt foremny | 140° |
| dziesięciokąt foremny | 144° |
| dwunastokąt formeny | 150° |
| osiemnastokąt foremny | 160° |
| dwudziestokąt foremny | 162° |