Kategoria: Poziom podstawowy – czerwiec

Działka ma kształt trapezu. Podstawy AB i CD tego trapezu mają długości |AB|=400 m oraz |CD|=100 m. Wysokość trapezu jest równa 75 m, a jego kąty DAB i ABC są ostre.

Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie AB tego trapezu, a dwa pozostałe – E oraz F – na ramionach AD i BC trapezu (zobacz rysunek).

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka:
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu ABCD jest sumą pól trapezów ABFE oraz EFCD:

P_ABCD = P_ABFE + P_EFCD

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych – od 1 do 8 – losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie.

Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby 8.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A. Zapisz obliczenia.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej 3 jest

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny ABCDEFA′B′C′D′E′F′, w którym krawędź podstawy ma długość 5. Przekątna AD′ tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45° (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku 6. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość 12 i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są punkty A=(1, 7) oraz P=(3, 1). Punkt P dzieli odcinek AB tak, że |AP|∶|PB|=1∶3.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punkt B ma współrzędne

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A=(−1, 5) oraz C=(3, −3) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole kwadratu ABCD jest równe

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=−x+1. Funkcja g jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykres funkcji g przechodzi przez punkt P=(0, −1) i jest prostopadły do wykresu funkcji f.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wzorem funkcji g jest

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Pole równoległoboku ABCD jest równe 40√6. Bok AD tego równoległoboku ma długość 10, a kąt ABC równoległoboku ma miarę 135° (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku AB jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Pole trójkąta równobocznego T₁ jest równe . Pole trójkąta równobocznego T₂ jest równe.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt T₂ jest podobny do trójkąta T₁ w skali

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Na łukach AB i CD okręgu są oparte kąty wpisane ADB i DBC, takie, że |∡ADB| = 20° i |∡DBC| = 40° (zobacz rysunek). Cięciwy AC i BD przecinają się w punkcie K.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta DKC jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne przecinają się w punkcie E (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku S. Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie A. Prosta l przecina ten okrąg w punktach B i C. Proste k i l przecinają się w punkcie D, przy czym |BC| = 4 i |CD| = 3 (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odległość punktu A od prostej l jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary 30°, 45° oraz 105°. Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe – odpowiednio – a, b oraz c (zobacz rysunek).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami: …………………. oraz …………………. .

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie cos α − cos α ⋅ sin² α jest równe

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Ciąg geometryczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. W tym ciągu a₁=3,75 oraz a₂=−7,5.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (a_n) jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Trzywyrazowy ciąg (1, 4, a+5) jest arytmetyczny

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba a jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Ciąg (a_n) jest określony wzorem dla każdej liczby naturalnej n≥1.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od 10 jest równa

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Masa m leku L zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą

m(t)=m₀·(0,6)^0,25t

gdzie:
m₀ – masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili t=0 dawki leku,
t – czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu t=0 zażycia leku.

Powiększ tablicę Ukryj tablicę

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=ax²+bx+1, gdzie a oraz b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że a < 0 i b > 0. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Fragment wykresu funkcji f przedstawiono na rysunku

Powiększ tablicę Ukryj tablicę