Pierwiastki

Pierwiastki - Definicja:

Pierwiastkiem n-stopnia z liczby x nazywamy taką liczbę a, która podniesiona do n-tej potęgi jest równa x.

\(a^n=x\)

co można zapisać jako:

\(a=\sqrt[n]{x}\)

Liczba x w powyższym zapisie nazywana jest tekże liczbą podpierwiastkową.

Przejdź do spisu treści

 



 

Przykłady:

Pierwiastek kwadratowy - pierwiastek 2-go stopnia zapisywany jest jako:

\(a=\sqrt{x}\)

Latex:a=\sqrt{x}


Pierwiastek sześcienny - pierwiastek 3-go stopnia zapisywany jest jako:

\(a=\sqrt[3]{x}\).

Latex:a=\sqrt[3]{x}


Pierwiastek n-tego stopnia zapisywany jest jako:

\(a=\sqrt[n]{x}\).

Latex:a=\sqrt[n]{x}


Pierwiastek z liczby PI (\(\pi\))

\(\sqrt[2]{\pi}=1,772453851\)

\(\sqrt[3]{\pi}=1,464591888\)

\(\sqrt[4]{\pi}=1,331335364\)

\(\sqrt[5]{\pi}=1,257274116\)

Z definicji pierwiastka wynika, że np:

\(\sqrt[1]{4}=4\) \(\sqrt[2]{4}=2\) \(\sqrt[3]{8}=2\)
\(\sqrt[1]{9}=9\) \(\sqrt[2]{9}=3\) \(\sqrt[3]{27}=3\)
\(\sqrt[1]{25}=25\) \(\sqrt[2]{25}=5\) \(\sqrt[3]{1000}=10\)

Jeżeli liczba podpierwiastkowa jest dodatnia to obliczony pierwiastek niezależnie od stopnia także jest dodatni i rzeczywisty.

Jeżeli liczba podpierwiastkowa jest ujemna to tylko dla nieparzystego stopnia pierwiastka można wyznaczyć wartość, która będzie rzeczywista, ujemna.

Dla parzystego stopnia pierwiastka wynik pierwiastkowania będzie zespolony (jeżeli uczysz się matematyki na poziomie szkoły gimnazjalnej wystarczy Ci odpowiedź, że nie można wyliczyć pierwiastka).

 



 

Działania na pierwiastkach:
Potęgowanie pierwiastków

Z definicji pierwiastka wynika, że jest to działanie odwrotne do potęgowania. Stąd mamy następującą relacje:

  • podnosząc pierwiastek do potęgi o wykładniku równym stopniowi tego pierwiastka otrzymujemy liczbę podpierwiastkową,

\((\sqrt[2]{x})^2=x\)

  • pierwiastkując potęgę pierwiastkiem o stopniu równym wykładnikowi tej potęgi otrzymujemy liczbę podpierwiastkową.

\(\sqrt[2]{x^2}=x\)

Z powyższych wynika więc, że:

\(\sqrt[2]{x^2}=(\sqrt[2]{x})^2\)

czyli dla każdego n, m należącego do N mamy:

\(\sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x})^m\)

Mnożenie i dzielenie

Wymnożyć możemy przez siebie pierwiastki o tym samym stopniu:

\(\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}=(\sqrt[n]{x \cdot y})\)

Podobnie, jak z mnożeniem dzielimy pierwiastki o tym samym stopniu:

\(\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}=\sqrt[n]{\frac{x}{y}}\)

Zadania:

Pierwiastki

Pierwiastki
Oceń tą treść

Zadanie 1: Pierwiastek kwadratowy

1

Oblicz pierwiastek kwadratowy z liczby.

Zadanie 1: Pierwiastek kwadratowy

Zadanie 1: Pierwiastek kwadratowy
5 (100%) 1 głos[ów]

Zadanie 2: Oblicz pierwiastek sześcienny z liczby.

2

Oblicz pierwiastek sześcienny z liczby.

Zadanie 2: Pierwiastek sześcienny

Zadanie 2: Oblicz pierwiastek sześcienny z liczby.
Oceń tą treść

Zadanie 3: Oblicz dowolny pierwiastek z liczby.

3

Oblicz dowolny pierwiastek z liczby.

Zadanie 3: Oblicz dowolny pierwiastek z liczby.

Zadanie 3: Oblicz dowolny pierwiastek z liczby.
Oceń tą treść

Excel:

W przypadku pierwiastka kwadratowego przygotowanie arkusza obliczającego wartość pierwiastka jest trywialna. Wykorzystujemy w tym przypadku funkcji pierwiastek(), gdzie argumentem jest liczba podpierwiastkowa. W przypadku pierwiastków stopnia różnego od 2 należy skorzystać z funkcji potęga( ; ), gdzie pierwszym argumentem jest liczba podpierwiastkowa, drugim natomiast odwrotność stopnia potęgi. Szczegóły dostępne są w videoinstrukcji poniżej:

Arkusz kalkulacyjny do wyliczania pierwiastka kwadratowego (arkusze dostępne do edycji w pełnym zakresie):

Arkusz kalkulacyjny do wyliczania pierwiastka sześciennego:

Arkusz kalkulacyjny do wyliczania pierwiastka n-tego stopnia:

 



Spis treści

Definicja
Przykłady
Działania na pierwiastkach
Pierwiastki w Excel

Pierwiastki
Oceń tą treść