Okręgi stycznie zewnętrznie i styczne do obu ramion kąta prostego

Rozwiązując  zadanie 29 z matury poziom podstawowy maj 2018 postanowiłem, że zweryfikuję tezę:

stosunek długości promienia większego okręgu stycznego z ramionami kąta prostego do długości promienia okręgu wpisanego w przestrzeń ograniczoną przez ramiona tego kąta oraz większy okrąg jest zawsze taki sam.

Nie będę podawał formalnego dowodu, ale w zamian za to przyjrzyjmy się, jak zachowają się promienie tych okręgów w relacji:

\(\frac{R}{r}\)

w trochę bardziej przystępnej formie - graficznie.

Poniżej znajduję się karta, która pozwala na zmianę wartość promienia większego okręgu. Ograniczyłem ten zakres do wartości od 1 do 50, co nam w zupełności wystarczy (P.S. testy też przeprowadziłem przy zakresie do 5000). 

To teraz Twoje zadanie: przesuwaj suwak i obserwuj, czy następuje zmiana relacji, którą badamy.



Jak widzisz stosunek \(\frac{R}{r}\) ani drgnie. Łatwo zatem wydedukować, jakie będą promienie coraz to mniejszych kolejnych okręgów wpisywanych w przestrzeń między ramiona kąta prostego i ostatni wyznaczony okrąg. Zapiszmy to bardziej ogólnie:

\(r_{n+1}=\frac{r_n}{5,82843}\)

gdzie n=1 to promień największego okręgu.

\(L.P.\) \(n\)\(r_{n+1}=\frac{r_n}{5,82843}\) \(r_{n}\)
1--2,5
210,4289322,5
320,0735930,428932
430,0126270,073593
540.0021660,012627

i tak dalej 🙂

Okręgi stycznie zewnętrznie i styczne do obu ramion kąta prostego
5 (100%) 1 głos[ów]

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.