Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 35

Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 35

Zadanie 35 (0-5)

Rosnący ciąg geometryczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa 10. Wyrazy a3, a5, a13 tworzą - w podanej kolejności - ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego (an).

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura marzec (04.03.2021) poziom podstawowy



Analiza:

Skorzystajmy z sumy 5 pierwszych wyrazów ciągu:

S_5 = \frac{a_1+a_5}{2}\cdot 5= 10

\frac{a_1+a_1+4r}{2}\cdot 5= 10 /\cdot 2

(2a_1+4r)\cdot 5= 20

10a_1+20r= 20/:10

a_1+2r= 2

Mamy dwie zmienne, potrzebujemy drugiego równania. Tym razem skorzystajmy z relacji między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego:

a_3\cdot a_{13} = a_5^2

(a_1+2r)\cdot (a_1+12r) = (a_1+4r)^2

a_1^2+12a_1r+2a_1r+24r^2=a_1^2+8a_1r+16r^2

a_1^2+14a_1r+24r^2-a_1^2-8a_1r-16r^2=0

6a_1r+8r^2=0/:2

3a_1r+4r^2=0

Możemy to teraz rozwiązać jak układ równań, ale to zostawię Tobie. Tutaj policzymy innym sprytnym sposobem:

Zauważ że

3a_1r+4r^2=0

możemy zapisać:

r(3a_1+4r)=0

Stąd otrzymujemy r1=0. Odrzucamy tę odpowiedź ze względu na założenie zadania - ciąg rosnący. Do rozwiązania may jeszcze:

3a_1+4r=0

Zauważ, że jak dodamy 2i jednocześnie odejmując otrzymamy:

3a_1+4r+2r-2r=0

3a_1+6r-2r=0

3(a_1+2r)-2r=0

gdzie wartość wyrażenia w nawiasie jest równa 2 (otrzymaliśmy to na początku zadania z sumy 5 pierwszych wyrazów):

3(2)-2r=0

6-2r=0

-2r=-6/:(-2)

r_2=3

Możemy teraz z jednego z równań łączących a1 z r wyznaczyć pierwszy wyraz ciągu:

a_1+2r= 2

a_1+2\cdot 3= 2

a_1+6= 2

a_1= -4

Podstawmy do ogólnego wzoru na n-ty wyraz ciągu:

a_n=a_1+(n-1)r

a_n=-4+(n-1)3

a_n=-4+3n-3

a_n=3n-7

Odpowiedź:

Wzór ogólny ciągu: an= 3n-7.



Matura - poziom podstawowy

Egzaminy maturalne - archiwum

2017

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.


Zadanie z odpowiedzią bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2018 - poziom podstawowy

Matura 2020 - poziom podstawowy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2019 - poziom podstawowy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2021 - poziom podstawowy

Maj 2021

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.

21 − 11 =