Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 34

Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 34

Zadanie 34 (0-2)

Funkcja kwadratowa f(x)=x2+bx+c nie ma miejsc zerowych. Wykaż, że 1+c>b.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura marzec (04.03.2021) poziom podstawowy



Analiza:

Zaczynamy z automatu:

Ponieważ założenie zadania to fakt, że funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych to delta musi być mniejsza od zera:

Δ = b2- 4ac < 0

Ponieważ a = 1 to:

Δ = b2- 4c < 0

Do zbadania mamy drugą nierówność:

1 + c > b

Spróbujmy poszukać wyrażenia, które jednoznacznie powie nam, że układ tych dwóch nierówności jest spełniony dla każdego b i c. Wyznaczmy z obu jedną i tą samą niewiadomą. Wybierzmy c, ponieważ jest w pierwszej potędze, a tym samym nie tracimy informacji o znaku.

b2- 4c < 0

-4c < -b2 /:(-4)

c > 0,25b2

1 + c > b

c > b - 1

Widać, że c jest zawsze większe zarówno od (-0,25b2) jak i (b - 1). Teraz musimy postawić sobie zasadnicze pytanie - co jest większe. W ustaleniu tej relacji pomoże Ci prześledzenie wykresów funkcji, które budujemy z obu wyrażeń:

f(x) = 0,25b2

wykres czerwony

g(x) = b - 1

wykres niebieski

Widać, że f(x) ≥ g(x).

Zapiszmy zatem odpowiadającą tej relacji nierówność:

0,25b2 ≥ b - 1

Teraz już pewnie widzisz, że zmierzamy do przyrównania do 0 wyrażenia, które spróbujemy opisać wzorem skróconego mnożenia:

b2 ≥ b - 1 /·4

b2 ≥ 4b + 4

b2 - 4b + 4 ≥ 0

(b - 2)2 ≥ 0

Co jest spełnione dla każdego b. Zatem nierówność 1 + c > b jest prawdziwa, ponieważ wraz z warunkiem na brak miejsc zerowych prowadzi do słusznego wniosku.

Odpowiedź:

Co należało udowodnić.



Matura - poziom podstawowy

Egzaminy maturalne - archiwum

2017

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.


Zadanie z odpowiedzią bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2018 - poziom podstawowy

Matura 2020 - poziom podstawowy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2019 - poziom podstawowy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Matura 2021 - poziom podstawowy

Maj 2021

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.

− 2 = 2