Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 14

Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 14

Zadanie 14 (0-1)

Ciągi (an), (bn) oraz (cn) są określone dla każdej liczby naturalnej n≥1 następująco

  • an= 6n2-n3
  • bn= 2n+13
  • cn= 2n

Wskaż zdanie prawdziwe:

A. Ciąg (an) jest arytmetyczny.

B. Ciąg (bn) jest arytmetyczny.

C. Ciąg (cn) jest arytmetyczny.

D. Wśród ciągów (an), (bn), (cn) nie ma ciągu arytmetycznego

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura marzec (04.03.2021) poziom podstawowy



Analiza:

Dla każdego z ciągów należy stworzyć wyraz następny po wyrazie n-tym. Następnie sprawdźmy czy różnica: wyraz następny-wyraz poprzedni będzie przyjmować postać liczbową niezależną od n.

Dla ciągu an=6n2-n3, an+1 ma postać:

an+1=6(n+1)2-(n+1)3=6(n2+2n+1)-(n3+3n2+3n+1)=

=6n2+12n+6-n3-3n2-3n-1=

=-n3+3n2+9n+5

Policzmy różnicę:

r=an+1-an

r=-n3+3n2+9n+5-(6n2-n3)=

=-n3+3n2+9n+5-6n2+n3=

=-3n2+9n+5

Jak widać różnica między kolejnymi wyrazami jest uzależniona od n. Ciąg an nie jest arytmetyczny.

Dla ciągu bn=2n+13, bn+1 ma postać:

bn+1=2(n+1)+13=2n+2+13=2n+15

Policzmy różnicę:

r=bn+1-bn

r=2n+15-(2n+13)=

=2n+15-2n-13=2

Różnica między kolejnymi wyrazami jest stała, niezależnie jaką parę następujących po sobie wyrazów sprawdzimy, zatem ciąg jest arytmetyczny.

Dla ciągu cn=2n, cn+1 ma postać:

cn+1=2n+1

Policzmy różnicę:

r=cn+1-cn

r=2n+1-2n=2n(2-1)=2n

Jak widać różnica między kolejnymi wyrazami jest uzależniona od n. Ciąg cn nie jest arytmetyczny.

Odpowiedź:

A. Ciąg (an) jest arytmetyczny.

B. Ciąg (bn) jest arytmetyczny.

C. Ciąg (cn) jest arytmetyczny.

D. Wśród ciągów (an), (bn), (cn) nie ma ciągu arytmetycznego



Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

− 3 = 2