Matura 2019 p. pdst. czerwiec matematyka - z. 33

Zadanie 33 (0-4)

Liczby rzeczywiste x i z spełniają warunek 2x+z=1. Wyznacz takie wartości x i z, dla których wyrażenie x2+z2+7xz przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2018/2019 - Matura czerwiec poziom podstawowy



Analiza:

Wyznaczmy z równania 2x+z=1 jedną z dwóch zmiennych, np z:

2x + z = 1

z = 1 - 2x

Tak wyznaczoną zmienną z podstawmy do wyrażenia x2+z2+7xz:

x2+(1-2x)2+7x(1-2x)

x2+1-4x+4x2+7x-14x2

5x2+1+3x-14x2

-9x2+3x+1

Ponieważ mamy znaleźć największą wartość wyrażenia to zapiszmy funkcję, której wartość będziemy wyznaczać, oraz argument dla którego otrzymamy taką wartość:

f(x)=-9x2+3x+1

Zauważ, że jest to funkcja kwadratowa, której wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół. Stąd wiemy, że maksymalna wartość oraz argument dla którego otrzymujemy tą wartość to współrzędne wierzchołka paraboli (p, q). Będzie nam potrzebna delta:

\Delta=b^2-4ac=3^2-4\cdot (-9)\cdot 1

\Delta=9+36=45

x_{max}=p=-\frac{b}{2a}

x_{max}=-\frac{3}{2\cdot(-9)}

x_{max}=-\frac{1}{2\cdot(-3)}

x_{max}=\frac{1}{6}

y_{max}=q=-\frac{\Delta}{4a}

y_{max}=-\frac{45}{4\cdot(-9)}

y_{max}=-\frac{5}{4\cdot(-1)}

y_{max}=\frac{5}{4}

Pozostaje nam jeszcze wyznaczyć z. Podstawmy wyznaczoną wartość maksymalną x do równania 2x+z=1:

2\cdot \frac{1}{6}+z=1

\frac{2}{6}+z=1

z=1-\frac{2}{6}

z=\frac{4}{6}

z=\frac{2}{3}

Odpowiedź:

Warunek z zadania spełnia para liczb: x=\frac{1}{6} \, i \,  z=\frac{2}{3}. Dla nich wartość maksymalna wyrażenia x2+z2+7xz równa jest \frac{5}{4}.



Matura - poziom podstawowy

Matura 2018 - poziom podstawowy

Egzaminy maturalne - archiwum

2017

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.


Zadanie z odpowiedzią bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią


Matura 2019 - poziom podstawowy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

8 × 1 =