Matura 2019 p. pdst. czerwiec matematyka - z. 29

Zadanie 28 (0-2)

Wykaż, że dla każdej liczby a>0 i dla każdej liczby b>0 prawdziwa jest nierówność:

\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}

Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2018/2019 - Matura czerwiec poziom podstawowy



Analiza:

Sprowadźmy do wspólnego mianownika:

\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}

\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab} \geq \frac{4}{a+b}

\frac{a+b}{ab} \geq \frac{4}{a+b}

Ponieważ a>0 i b>0 to suma a+b też jest większa od zera. Nie zmieniamy znaku nierówności po przemnożeniu przez mianownik (a+b)

\frac{a+b}{ab} \geq \frac{4}{a+b} / \cdot(a+b)

\frac{(a+b)^2}{ab} \geq 4

\frac{(a+b)^2}{ab}-4 \geq 0

\frac{(a+b)^2}{ab}-\frac{4ab}{ab} \geq 0

\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab} \geq 0

\frac{a^2-2ab+b^2}{ab} \geq 0

Ponieważ mianownik ab \geq 0, to musimy sprawdzić, czy licznik jest większy od zera:

a^2-2ab+b^2 \geq 0

Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia:

(a-b)^2 \geq 0

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest dodatni. Nierówność jest spełniona.



Matura - poziom podstawowy

Matura 2018 - poziom podstawowy

maj

 


 

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy

 

Zadanie z analizą i odpowiedzią

Egzaminy maturalne - archiwum

2017

Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań.


Zadanie z odpowiedzią bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią


Matura 2019 - poziom podstawowy

Zadanie z odpowiedzią - bez analizy


Zadanie z analizą i odpowiedzią

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

+ 52 = 62