Maksymalne pole prostokąta o danym obwodzie

Zadanie:

Oblicz maksymalne pole prostokąta, którego obwód wynosi .

Analiza:

Zadanie sprowadza się do wyznaczenia wzoru na pole prostokąta, w którym zastosujemy tylko jedną zmienną, po której będziemy wyznaczać maksimum.



To do dzieła!

Znamy obwód prostokąta. Wynosi on 16:

Ob = 2a + 2b

16 = 2a + 2b

Pole prostokąta zapiszemy jako:

P = a · b

W tym miejscu zróbmy założenia:

a > 0

b > 0

Korzystając z równania na obwód, wyraźmy pole jako równanie jednej zmiennej:

16 = 2a + 2b

2b = 16 - 2a /:2

b = 8 - a

Stąd pole:

P = a·(8 - a)

P = 8a - a2

Aby wyznaczyć maksimum musimy wyliczyć pochodną P po zmiennej a:

P' = 8 - 2a

Przyrównajmy do zera:

P' = 8 - 2a = 0

8 - 2a = 0

-2a = -8 /:-2

a = 4

Sprawdźmy, czy wyznaczone ekstremum jest szukanym maksimum:

dla a < 4 wartości pochodnej są dodatnie;

dla a > 4 wartości pochodnej są ujemne;

Stąd wiemy, że a = 4 to maksimum.

Wyznaczmy b z obwodu:

16 = 2·4 + 2b

16 = 8 + 2b

2b = 16 - 8

2b = 8

b = 4

Stąd maksymalne pole dla obwodu równego 16 wynosi:

P = 4 · 4 = 16



Zauważ, że otrzymana figura jest kwadratem. Zobacz animację poniżej. Do analizy przygotowałem animację dla rodziny prostokątów o obwodzie 16. Zobacz, jaka relacja między długością jednego boku prostokąta, a polem.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

÷ 2 = 1