Gdy nie pamiętam wzoru - wzory Viete'a

Czas na nowy "odcinek" z cyklu: gdy nie pamiętam wzoru. Tym razem materiał przygotowany w wersji na YT:



Wzory Viete'a dotyczą sumy i iloczynu pierwiastków równania kwadratowego. Pozwalają one powiązać wyniki tych działań z współczynnikami z równania kwadratowego. Zacznijmy więc od przypomnienia, jak zapisane są rozwiązania równania kwadratowego uzależnione od współczynników równania ax2+bx+c=0:

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

gdzie Δ=b2-4ac. Ponieważ potrzebujemy dwa rozwiązania to musimy określić warunki: Δ>0, oraz a≠0 .

Obliczmy sumę pierwiastków:

x_1+x_2=

Podstawmy pod x1 i x2 odpowiadające im wyrażenia:

=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=

Dodajmy ułamki:

=\frac{-b-\sqrt{\Delta}-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=

=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}

Otrzymaliśmy pierwszy wzór:

x_1+x_2=-\frac{b}{a}



Wyznaczmy teraz równanie na iloczyn dwóch pierwiastków:

x_1\cdot x_2=

Podstawmy ponownie wyrażenia na oba pierwiastki:

=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\cdot \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=

Wykonajmy mnożenie:

=\frac{(-b-\sqrt{\Delta})\cdot (-b+\sqrt{\Delta})}{2a\cdot 2a}=

Zauważ, że w liczniku mamy wzór skróconego mnożenia (t-s)(t+s)=t2-s2 , gdzie t=-b i s=\sqrt{\Delta}

=\frac{(-b)^2-(\sqrt{\Delta})^2}{4a^2}=

=\frac{b^2-\Delta}{4a^2}=

Podstawmy wyrażenie na deltę:

=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=

=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=

=\frac{4ac}{4a^2}=

Skróćmy co możemy:

=\frac{c}{a}

Otrzymaliśmy drugie równanie Viete'a na iloczyn:

x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}



Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

1 × 4 =